三角函数初步

一，定义

1.1 锐角三角函数

如图，在 ({ m Rt} riangle ABC) 中，(angle C=90^{circ}) ，则有：

• (sin A=dfrac ac) （正弦值等于对边比斜边）

• (cos A=dfrac bc) （余弦值等于邻边比斜边）

• ( an A=dfrac ab) （正切值等于对边比邻边）

• (cot A=dfrac ba) （余切值等于邻边比对边）

• (sec A=dfrac cb) （正割值等于斜边比邻边）

• (csc A=dfrac ca) （余割值等于斜边比对边）

中学阶段最常用的是 (sin,cos, an,cot)
下文将不再讨论 (sec,csc) 及其他三角函数

1.2 任意角三角函数

构造平面直角坐标系 (xOy)

将 (x) 轴正半轴绕点 (O) 逆时针旋转一个角度 ( heta) 得到射线 (l)

设 (P(x,y)) 为 (l) 上一点，(OP=r) ，则有：

• (sin heta=dfrac yr)

• (cos heta=dfrac xr)

• ( an heta=dfrac yx)

• (cot heta=dfrac xy)

下图是 (alphain(frac{pi}2,pi)) 的情况
黑点为 (l) 与单位圆的交点，其横坐标即为 (cosalpha) ，纵坐标即为 (sinalpha)

(sin) 和 (cos) 的函数图象如下图所示

1.3 反三角函数

反三角函数指三角函数的反函数，用 arc + 函数名 的形式表示
如 (arctandfrac ab) 表示满足 ( an heta=dfrac ab) 的 ( heta) 值
(arctan) 的值域（主值区间）为 ((-fracpi 2,fracpi 2)) ，这是为了保证一个自变量恰好对应一个函数值，同时方便使用
(arcsin,arccos,operatorname{arccot}) 的值域可参考 2.1 中表格

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二，基本性质

2.1 定义域 & 值域

三角函数	定义域	值域	反三角函数	定义域	值域（主值区间）
(sin)	(mathbb R)	([-1,1])	(arcsin)	([-1,1])	([-fracpi 2,fracpi 2])
(cos)	(mathbb R)	([-1,1])	(arccos)	([-1,1])	([0,pi])
( an)	({xmid x e kpi+fracpi 2(kin mathbb Z)})	(mathbb R)	(arctan)	(mathbb R)	((-fracpi 2,fracpi 2))
(cot)	({xmid x e kpi(kin mathbb Z)})	(mathbb R)	(operatorname{arccot})	(mathbb R)	((0,pi))

2.2 奇偶性 & 单调性 & 周期性

三角函数	奇偶性	最小正周期	反三角函数	奇偶性	单调性
(sin)	奇	(2pi)	(arcsin)	奇	单调递增
(cos)	偶	(2pi)	(arccos)	非奇非偶	单调递减
( an)	奇	(pi)	(arctan)	奇	单调递增
(cot)	奇	(pi)	(operatorname{arccot})	非奇非偶	单调递减

(sin,cos, an,cot) 的单调性请自行画图判断
(arcsin,arccos,arctan,operatorname{arccot}) 都不是周期函数

2.3 对称性

2.4 特殊值

( heta m(deg))	(0^{circ})	(30^{circ})	(45^{circ})	(60^{circ})	(90^{circ})	(120^{circ})	(135^{circ})	(150^{circ})	(180^{circ})
( heta m(rad))	(0)	(dfracpi6)	(dfracpi4)	(dfracpi3)	(dfracpi2)	(dfrac{2pi}3)	(dfrac{3pi}4)	(dfrac{5pi}6)	(pi)
(sin heta)	(0)	(dfrac12)	(dfrac{sqrt2}2)	(dfrac{sqrt3}2)	(1)	(dfrac{sqrt3}2)	(dfrac{sqrt2}2)	(dfrac12)	(0)
(cos heta)	(1)	(dfrac{sqrt3}2)	(dfrac{sqrt2}2)	(dfrac12)	(0)	(-dfrac12)	(-dfrac{sqrt2}2)	(-dfrac{sqrt3}2)	(-1)
( an heta)	(0)	(dfrac{sqrt3}3)	(1)	(sqrt3)	(ackslash)	(-sqrt3)	(-1)	(-dfrac{sqrt3}3)	(0)
(cot heta)	(ackslash)	(sqrt3)	(1)	(dfrac{sqrt3}3)	(0)	(-dfrac{sqrt3}3)	(-1)	(-sqrt3)	(ackslash)

(15^{circ}) 和 (75^{circ}) 的三角函数值也有可能会用到：

(sin15^{circ}=dfrac{sqrt6-sqrt2}4,~~cos15^{circ}=dfrac{sqrt6+sqrt2}4,~~ an15^{circ}=2-sqrt3,~~cot15^{circ}=2+sqrt3)

(sin75^{circ}=dfrac{sqrt6+sqrt2}4,~~cos75^{circ}=dfrac{sqrt6-sqrt2}4,~~ an75^{circ}=2+sqrt3,~~cot75^{circ}=2-sqrt3)

2.5 基本关系式

• (sin^2 heta+cos^2 heta=1)

• ( an heta=dfrac{sin heta}{cos heta},~~cot heta=dfrac{cos heta}{sin heta})

• ( an hetacot heta=1)

• (sin heta=cos(90^{circ}- heta),~~ an heta=cot(90^{circ}- heta))

证明略

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三，三角恒等变形

3.1 诱导公式

诱导公式的作用是将 (ncdotdfracpi2pm alpha) 这种角的三角函数转化为 (alpha) 的三角函数

首先，根据三角函数的周期性，对于 ( heta=2kpi+alpha(kinmathbb Z)) ，有

(egin{aligned} sin(2kpi+alpha)&=sinalpha\ cos(2kpi+alpha)&=cosalpha\ an(2kpi+alpha)&= analpha\ cot(2kpi+alpha)&=cotalpha end{aligned})

诱导公式的其它部分如下表所示

( heta m(deg))	(-alpha)	(90^{circ}-alpha)	(90^{circ}+alpha)	(180^{circ}-alpha)	(180^{circ}+alpha)	(270^{circ}-alpha)	(270^{circ}+alpha)	(360^{circ}-alpha)
( heta m(rad))	(-alpha)	(dfracpi2-alpha)	(dfracpi2+alpha)	(pi-alpha)	(pi+alpha)	(dfrac{3pi}2-alpha)	(dfrac{3pi}2+alpha)	(2pi-alpha)
(sin heta)	(-sinalpha)	(cosalpha)	(cosalpha)	(sinalpha)	(-sinalpha)	(-cosalpha)	(-cosalpha)	(-sinalpha)
(cos heta)	(cosalpha)	(sinalpha)	(-sinalpha)	(-cosalpha)	(-cosalpha)	(-sinalpha)	(sinalpha)	(cosalpha)
( an heta)	(- analpha)	(cotalpha)	(-cotalpha)	(- analpha)	( analpha)	(cotalpha)	(-cotalpha)	(- analpha)
(cot heta)	(-cotalpha)	( analpha)	(- analpha)	(-cotalpha)	(cotalpha)	( analpha)	(- analpha)	(-cotalpha)

证明全部都可以直接套定义得到，但还是建议结合函数图象的性质理解记忆

3.2 和差角公式

(egin{aligned} sin(alpha+eta)&=sinalphacoseta+cosalphasineta\ sin(alpha-eta)&=sinalphacoseta-cosalphasineta\ cos(alpha+eta)&=cosalphacoseta-sinalphasineta\ cos(alpha-eta)&=cosalphacoseta+sinalphasineta\ an(alpha+eta)&=dfrac{ analpha+ aneta}{1- analpha aneta}\ an(alpha-eta)&=dfrac{ analpha- aneta}{1+ analpha aneta} end{aligned})

证明思路：
前四个中只需任意证明一个，再结合诱导公式即可得出另外三个
然后一三式、二四式分别相除即可得到五、六式
例如 ( an(alpha+eta)=dfrac{sin(alpha+eta)}{cos(alpha+eta)}=dfrac{sinalphacoseta+cosalphasineta}{cosalphacoseta-sinalphasineta})
分子分母同时约去 (cosalphacoseta) 即可得到 ( an(alpha+eta)=dfrac{ analpha+ aneta}{1- analpha aneta})

下面给出两种证明方法（在三角形内证明一式、向量法证明四式）

以 (alpha,eta) 均为锐角的情形为例

(S_{ riangle AOH}=dfrac12OAcdot OHcdot sinalpha=dfrac12OAcdot OBcdotcosetacdotsinalpha)

(S_{ riangle BOH}=dfrac12OBcdot OHcdot sineta=dfrac12OBcdot OAcdotcosalphacdotcoseta)

(S_{ riangle AOB}=dfrac12OAcdot OBcdot sin(alpha+eta))

显然 (S_{ riangle AOB}=S_{ riangle AOH}+S_{ riangle BOH}) ，故 (sin(alpha+eta)=sinalphacoseta+cosalphasineta) ，即为一式

(A,B) 都在单位圆上，故 (A,B) 的坐标分别为 ((cosalpha,sinalpha),(coseta,sineta))
考虑向量 (overrightarrow{OA},overrightarrow{OB}) 的数量积
根据定义， (overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OB}=|OA|cdot|OB|cdotcos(eta-alpha)=cos(eta-alpha)=cos(alpha-eta))
再考虑数量积的坐标表示，有 (overrightarrow{OA}cdotoverrightarrow{OB}=cosalphacoseta+sinalphasineta)
故 (cos(alpha-eta)=cosalphacoseta+sinalphasineta) ，即为四式

3.3 倍角公式

在和角公式中令 (alpha=eta) ，即可得到二倍角公式：

(egin{aligned} sin2alpha&=2sinalphacosalpha\ cos2alpha&=cos^2alpha-sin^2alpha=2cos^2alpha-1=1-2sin^2alpha\ an2alpha&=dfrac{2 analpha}{1- an^2alpha} end{aligned})

由二倍角公式可得 (cosalpha=2cos^2dfracalpha2-1=1-2sin^2dfracalpha2)
进一步可以推出半角公式：

(egin{aligned} sindfracalpha2&=pmsqrt{dfrac{1-cosalpha}2}\ cosdfracalpha2&=pmsqrt{dfrac{1+cosalpha}2}\ andfracalpha2&=pmsqrt{dfrac{1-cosalpha}{1+cosalpha}}=dfrac{sinalpha}{1+cosalpha}=dfrac{1-cosalpha}{sinalpha} end{aligned})

带 (pm) 是因为开方导致符号不确定，还需要根据 (dfracalpha2) 所在的象限判断
但 ( andfracalpha2=dfrac{sinalpha}{1+cosalpha}=dfrac{1-cosalpha}{sinalpha}) 是没有符号问题的 可以直接用

三倍角公式偶尔也会用到 但部分推导过程要用到和差化积/积化和差公式 所以放到后面再讲
四倍及以上就没必要记了

3.4 万能公式

功能是仅用 ( andfracalpha2) 表示出 (alpha) 的三角函数值

首先根据二倍角公式有

(egin{aligned} sinalpha&=2sindfracalpha2cosdfracalpha2\ cosalpha&=cos^2dfracalpha2-sin^2dfracalpha2\ analpha&=dfrac{2 anfracalpha2}{1- an^2fracalpha2} end{aligned})

三式已经达成目标了

因为 (1=sin^2fracalpha2+cos^2fracalpha2) ，所以我们可以把一二式写成

(sinalpha=dfrac{2sinfracalpha2cosfracalpha2}{sin^2fracalpha2+cos^2fracalpha2}, cosalpha=dfrac{cos^2fracalpha2-sin^2fracalpha2}{sin^2fracalpha2+cos^2fracalpha2})

然后就可以约分了，最终得到

(egin{aligned} sinalpha&=dfrac{2 anfracalpha2}{1+ an^2fracalpha2}\ cosalpha&=dfrac{1- an^2fracalpha2}{1+ an^2fracalpha2}\ analpha&=dfrac{2 anfracalpha2}{1- an^2fracalpha2} end{aligned})

即为万能公式

3.6 积化和差公式

根据和差角公式，(cos(alphapmeta)=cosalphacosetampsinalphasineta)
两式相加，两式相减，分别可得出

(egin{aligned} cosalphacoseta&=dfrac12[cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)]\ sinalphasineta&=dfrac12[cos(alpha-eta)-cos(alpha+eta)] end{aligned})

同理，由 (sin(alphapmeta)=sinalphacosetapmcosalphasineta) 可得

(egin{aligned} sinalphacoseta&=dfrac12[sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)]\ cosalphasineta&=dfrac12[sin(alpha+eta)-sin(alpha+eta)] end{aligned})

这四个式子就是积化和差公式

(egin{aligned} sinalphasineta&=-dfrac12[cos(alpha+eta)-cos(alpha-eta)]\ sinalphacoseta&=dfrac12[sin(alpha+eta)+sin(alpha-eta)]\ cosalphasineta&=dfrac12[sin(alpha+eta)-sin(alpha-eta)]\ cosalphacoseta&=dfrac12[cos(alpha+eta)+cos(alpha-eta)] end{aligned})

3.8 和差化积公式

(egin{aligned} sinalpha+sineta&=2sin frac{alpha+eta}2cos frac{alpha-eta}2\ sinalpha-sineta&=2cos frac{alpha+eta}2sin frac{alpha-eta}2\ cosalpha+coseta&=2cos frac{alpha+eta}2cos frac{alpha-eta}2\ cosalpha-coseta&=2cos frac{alpha+eta}2sin frac{alpha-eta}2 end{aligned})

证明不写了，用积化和差从右往左推就行

3.9 其它公式

三倍角公式
对二倍角和一倍角用一次和角公式即可
化简整理会用到和差化积/积化和差 不详细写了

(egin{aligned} sin3alpha&=3sinalpha-4sin^3alpha=4sin(60^{circ}-alpha)sinalphasin(60^{circ}+alpha) \ cos3alpha&=4cos^3alpha-3cosalpha=4cos(60^{circ}-alpha)cosalphacos(60^{circ}+alpha) \ an3alpha&=dfrac{ an^3alpha-3 analpha}{3 an^2alpha-1}= an(60^{circ}-alpha) analpha an(60^{circ}+alpha) end{aligned})

辅助角公式

(asin x+bcos x=sqrt{a^2+b^2}sin(x+arctanfrac ba))

用和角公式把右边拆了就能证
可以用来处理最值问题