P8292[省选联考 2022]卡牌【状压,容斥】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P8292

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题目大意

有\(n\)张卡牌，第\(i\)张上的数字是\(s_i\)。\(m\)次询问给出\(c_i\)个质数，要求选择一些卡使得这些卡的乘积是这些质数的倍数，求方案数。

\(1\leq n\leq 10^6,1\leq s_i\leq 2000,1\leq m\leq 1500,\sum_{i=1}^m c_i\leq 18000\)

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解题思路

对于一个数字\(x\)来说，大于\(\sqrt x\)的质因子只会有一个，也就是对于大于所有的\(\sqrt s_i\)的质数\(p\)，它们的倍数之间不会产生重复，可以分开计数。

而小于\(\sqrt s_i\)的质数个数只有\(14\)个，我们可以考虑状压。

处理出\(g_s\)表示在集合\(s\)中的质数都不选择（即没有这些数的倍数）时的数字个数，然后再预处理出一个\(f_{i,s}\)表示质数\(i\)的倍数中集合\(s\)中的质数都不选择时的数字个数。

那么对于一个询问，我们先处理出小于等于\(\sqrt s\)的质数被加进去的状态\(S\)，然后对于大于\(\sqrt s\)的每个质数\(p\)，那么答案就是

\[\sum_{T\sube S}\left(2^{g_T}\times \sum_{p}\left(1-\frac{1}{2^{f_{p,T}}}\right)\right)(-1)^{|T|} \]

然后求和就可以了

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<cctype>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2100,M=1e6+10,L=14,P=998244353;
ll n,m,cnt,pri[320],pw[M],iw[M],ct[1<<L];
ll w[N],f[1<<L][320],g[1<<L],q[N*10],v[N];
vector<ll> r;bool usd[N];
ll read(){
	ll x=0,f=1;char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=-f;c=getchar();}
	while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+c-48;c=getchar();}
	return x*f;
}
void Prime(){
	for(ll i=2;i<N;i++){
		if(!v[i])pri[cnt]=i,cnt++,v[i]=cnt-1;
		for(ll j=0;j<cnt&&i*pri[j]<N;j++){
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0)break;
		}
	}
	return;
}
signed main()
{
	Prime();
	n=read();pw[0]=iw[0]=1;
	for(ll i=1;i<=n;i++)pw[i]=pw[i-1]*2ll%P;
	for(ll i=1;i<=n;i++)iw[i]=iw[i-1]*(P+1)/2ll%P;
	for(ll i=1,x;i<=n;i++)x=read(),w[x]++;
	ll MS=(1<<L);
	for(ll s=1;s<MS;s++)ct[s]=ct[s-(s&-s)]+1;
	for(ll s=0;s<MS;s++){
		r.clear();
		memset(usd,0,sizeof(usd));
		for(ll i=0;i<L;i++)
			if((s>>i)&1){
				for(ll j=pri[i];j<=2000;j+=pri[i])
					usd[j]=1;
			}
		for(ll i=1;i<=2000;i++)
			if(!usd[i])g[s]+=w[i],r.push_back(i);
		g[s]=pw[g[s]];
		for(ll i=L;i<cnt;i++){
			f[s][i]=0;
			for(ll j=0;r[j]*pri[i]<=2000;j++)
				f[s][i]+=w[r[j]*pri[i]];
			ll k=f[s][i];
			f[s][i]=iw[k]*(pw[k]-1)%P;
		}
	}
	m=read();
	while(m--){
		ll k=read();
		ll t=0,tot=0,ans=0;
		for(ll i=1,x;i<=k;i++){
			x=read();
			if(v[x]<L)t|=1<<v[x];
			else q[++tot]=v[x];
		}
		sort(q+1,q+1+tot);
		tot=unique(q+1,q+1+tot)-q-1;
		for(ll s=t;s>=0;s=(s-1)&t){
			ll k=(ct[s]&1)?(P-g[s]):g[s];
			for(ll i=1;i<=tot;i++)
				k=k*f[s][q[i]]%P;
			(ans+=k)%=P;
			if(!s)break;
		}
		printf("%lld\n",(ans+P)%P);
	}
	return 0;
}