正题
题目大意
给出\(n\times m\)的网格填着\(-1\sim 4\)的数字,对于将所有的\(-1\)填上\(0\sim 4\)的方案中,定义方案\(X\)的权值,设在相邻网格之间连线(每对只能连一条)使得每个网格连出去的边数恰好位数字的方案数为\(f(X)\),那么权值为\(f^2(X)\)。
求所有方案的权值和,对\(998244353\)取模。
\(1\leq T\leq 10,1\leq n\leq 70,1\leq m\leq 6\)
解题思路
主要的难点在这个平方处,我们有道经典处理方案数平方的例题[NOI2009]管道取珠,做法就是同时维护两个共线推进的方案,这样每对方案之间都有贡献,方案数就平方了。
但是这样的状态也是平方的,我们需要考虑压缩一下状态,正常来说的插头\(dp\)可能是\(O(5^m)\)的状态,但是注意到每队网格只能连一条边,所以对于每个块最多只能剩下插头数的状态,也就是除了当且枚举快左边那个以外都是\(2\)个状态,这样状态就很少了,只有\(96\)种,直接平方做然后插头\(dp\)转移即可。
code
#pragma GCC optimize(2)
%:pragma GCC optimize(3)
%:pragma GCC optimize("Ofast")
%:pragma GCC optimize("inline")
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int P=998244353;
int T,n,m,f[2][16384],v[2][16384],s[2][16384],l[2];
int ges(int s,int j,int p)
{return s|((p>1)<<m)|((p>0)<<j);}
void work(int g,int sq,int sp,int w){
int S=(sq<<m+1)|sp;
(f[g][S]+=w)%=P;
if(!v[g][S])v[g][S]=1,s[g][l[g]++]=S;
return;
}
int main()
{
freopen("grid.in","r",stdin);
freopen("grid.out","w",stdout);
scanf("%d",&T);
while(T--){
scanf("%d%d",&n,&m);
int g=0,MS=(1<<m+1)-1;
memset(f,0,sizeof(f));
memset(v,0,sizeof(v));
l[1]=0;s[0][0]=0;l[0]=1;
f[0][0]=1;
for(int i=0;i<n;i++){
for(int j=0,lim;j<m;j++){
scanf("%d",&lim);g^=1;
for(int p=0;p<l[g];p++)
v[g][s[g][p]]=f[g][s[g][p]]=0;
l[g]=0;
for(int x=0;x<=4;x++){
if(lim!=-1&&lim!=x)continue;
for(int p=0;p<l[!g];p++){
int S=s[!g][p],zq=x,zp=x;
int sq=S>>m+1,sp=S-(sq<<m+1);
int kq=(j?((sq>>j-1)&1):0),kp=(j?((sp>>j-1)&1):0);
zq-=((sq>>m)&1)+((sq>>j)&1);kq-=((sq>>m)&1);
zp-=((sp>>m)&1)+((sp>>j)&1);kp-=((sp>>m)&1);
if(zq<0||zp<0)continue;
sq&=MS^(1<<m)^(1<<j);sp&=MS^(1<<m)^(1<<j);
for(int rq=0;rq<=kq;rq++)
for(int rp=0;rp<=kp;rp++){
if(zq<rq||zp<rp||zq-rq>2||zp-rp>2)continue;
work(g,ges(sq^(rq<<j-1),j,zq-rq),ges(sp^(rp<<j-1),j,zp-rp),f[!g][S]);
}
}
}
}
g^=1;
for(int p=0;p<l[g];p++)
v[g][s[g][p]]=f[g][s[g][p]]=0;
l[g]=0;
for(int p=0;p<l[!g];p++){
int S=s[!g][p];
int sq=S>>m+1,sp=S-(sq<<m+1);
if(((sq>>m)&1)|((sp>>m)&1))continue;
work(g,sq,sp,f[!g][S]);
}
}
printf("%d\n",f[g][0]);
}
return 0;
}