正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P6624
题目大意
(n)个点的一张图，每条边有权值，一棵生成树的权值是所有边权和乘上边权的(gcd)，即
[val(T)=left(sumlimits_{i=1}^{n-1} w_{e_i}
ight) imes gcd(w_{e_1},w_{e_2},dots,w_{e_{n-1}})
]
求所有生成树的权值和
解题思路
首先要知道一个东西(varphi*I=id)，于是我们就有
[gcd(w_1,w_2,dots,w_n)=sum_{d|w_1,d|w_2,dots,d|w_n}varphi(d)
]
然后化进这个式子里就是
[left(sumlimits_{i=1}^{n-1} w_{i}
ight) imes sum_{d|w_1,d|w_2,dots,d|w_n}varphi(d)
]
然后把(varphi(d))丢出去就是
[sum_{d=1}^nvarphi(d) imesleft(sumlimits_{i=1,d|w_i}^{n-1} w_{i}
ight)
]
之后就是怎么快速算后面那个东西的事情了。
一个比较朴素的做法是枚举每一条边产生的贡献，然后固定这条边然后矩阵树求一次答案乘上这条边就好了。
但是这个比较慢，我们可以利用生成函数的思想，每一条边权变为(F_i(x)=w_ix+1)的一个多项式，然后所有多项式乘起来之后的一次项系数就是答案了。因为这样只会选择一条边的(w_i)
多项式除法的话用的比较少，这里化一下
[frac{ax+b}{cx+d}=zx+wRightarrow ax+b=zcx^2+(zd+cw)x+wd
]
然后二次项我们直接丢掉就有
[b=wdRightarrow w=frac{b}{d}
]
带进后面那个去就有
[a=zd+cfrac{b}{d}Rightarrow z=frac{ad-cb}{d^2}
]
所以
[frac{ax+b}{cx+d}=frac{ad-cb}{d^2}x+frac{b}{d}
]
这样时间复杂度是(O( max{w_i}(m+n^3) ))的，好像过不了，可以把边数不够(n-1)的直接不管，这样可以省去很多无用情况
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=2e5+10,P=998244353;
struct fuc{
ll x,y;
fuc(ll xx=0,ll yy=0)
{x=xx;y=yy;return;}
};
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;x%=P;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
};
ll inv(ll x){return power(x,P-2);}
fuc operator+(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x+b.x)%P,(a.y+b.y)%P);}
fuc operator-(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x-b.x+P)%P,(a.y-b.y+P)%P);}
fuc operator*(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x*b.y+a.y*b.x)%P,a.y*b.y%P);}
fuc operator/(fuc a,fuc b)
{return fuc((a.x*b.y-b.x*a.y+P)%P*inv(b.y*b.y)%P,a.y*inv(b.y)%P);}
ll n,m,ans,x[N],y[N],w[N],phi[N],pri[N],cnt;
bool v[N];fuc a[31][31];
fuc det(){
fuc ans(0,1);ll f=1;
for(ll i=1;i<n;i++){
ll w=i;
for(ll j=i;j<n;j++)
if(a[i][j].y){
if(i!=j)f=-f;
w=j;break;
}
swap(a[i],a[w]);
if(!a[i][i].y)return fuc(0,0);
ans=ans*a[i][i];
fuc inv=fuc(0,1)/a[i][i];
for(ll j=n-1;j>=i;j--)
a[i][j]=a[i][j]*inv;
for(ll j=i+1;j<n;j++){
fuc rate=a[j][i];
for(ll k=i;k<n;k++)
a[j][k]=a[j][k]-rate*a[i][k];
}
}
return (ans.x*f+P)%P;
}
void init(ll n){
phi[1]=1;
for(ll i=2;i<=n;i++){
if(!v[i])pri[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
for(ll j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){
v[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0){
phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
break;
}
phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
}
}
return;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
ll mx=0;
for(ll i=1;i<=m;i++){
scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&y[i],&w[i]);
x[i]--;y[i]--;mx=max(mx,w[i]);
}
init(mx);
for(ll i=1;i<=mx;i++){
ll cnt=0;
for(ll j=1;j<=m;j++)
if(w[j]%i==0)cnt++;
if(cnt<n-1)continue;
memset(a,0,sizeof(a));
for(ll j=1;j<=m;j++)
if(w[j]%i==0){
a[x[j]][x[j]]=a[x[j]][x[j]]+fuc(w[j],1);
a[y[j]][y[j]]=a[y[j]][y[j]]+fuc(w[j],1);
a[x[j]][y[j]]=a[x[j]][y[j]]-fuc(w[j],1);
a[y[j]][x[j]]=a[y[j]][x[j]]-fuc(w[j],1);
}
(ans+=phi[i]*det().x%P)%=P;
}
printf("%lld
",ans);
return 0;
}