概率+逆元 书

  

问题 C: 书

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题目描述

Hazel有n本书，编号1为n到 ，叠成一堆。当她每次抽出一本书的时候，上方的书会因重力而下落，这本被取出的书则会被放置在书堆顶。

每次有pi的概率抽取编号为i的书。她每次抽书所消耗的体力与这本书在这堆中是第几本成正比。具体地，抽取堆顶的书所耗费体力值为1 ，抽取第二本耗费体力值为2 ，以此类推。

现在 想知道，在很久很久以后（可以认为几乎是无穷的），她每次抽书所耗费的体力的期望值是多少。

最终的答案显然可以表示成a/b的形式，请输出a*(b^-1)模1e9+7的值。

【输入格式】

第一行一个整数n

接下来n行，每行两个整数ai，bi，代表抽取第i本书的概率是ai/bi

保证所有书的概率和等于1

【输出格式】

输出一行一个整数，代表期望值

【输入样例1】

2

227494 333333

105839 333333

【输出样例1】

432679642

【输入样例2】

10

159073 999999

1493 142857

3422 333333

4945 37037

2227 111111

196276 999999

190882 999999

142721 999999

34858 999999

101914 999999

【输出样例2】

871435606

【数据规模与约定】

对于30%的数据，1<=n<=10。

对于100%的数据，1<=n<=1000,0<=ai<=bi,bi!=0。

 很尴尬，联考时全体爆零了。。全场没人得分。。五十多人诶。

  他给的概率表示方式很令人不爽，但在%意义下，可以求出分母的逆元，乘上即可。

   这里用到了一个推导，总期望是选每个书的概率*那本书耗费体力的期望。

   那么重点成了怎么求这本书耗体力的期望。首先，每本书对这本书的贡献是互相独立的，它上面每加一本书，他耗费的体力加一，而最小值为一。每本书对他的贡献就是那本书在这本书上面的概率，就是最后一次选之前，那本书被抽了出来。这个概率就是pj/(pi+pj)，很显然。。

   那么公式就出来了。

   ans=Σ  pi*( 1+Σ pj/(pi+pj) )

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define ll long long
#define mod 1000000007
using namespace std;
int read()
{
	int sum=0,f=1;char x=getchar();
	while(x<'0'||x>'9'){if(x=='-')f=-1;x=getchar();}
	while(x>='0'&&x<='9'){sum=sum*10+x-'0';x=getchar();}
	return sum*f;
}
int n;
ll a[1005],ans=0;
ll ny(ll a,ll b,ll c)
{
	if(a==0)return -1;
	else if(!(c%a))return c/a;
	ll t=ny(b%a,a,((-c%a)+a)%a);
	if(t==-1)return -1;
	return (t*b+c)/a;
}
int main()
{
	freopen("book.in","r",stdin);
	freopen("book.out","w",stdout);
	n=read();
	ll x;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		a[i]=read();
	    x=read();
		x=ny(x,mod,1);
		a[i]=(a[i]*x)%mod;	
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll sum=1;
		for(int j=1;j<=n;j++)
		   if(i!=j)
		   {
		   	   ll k=ny(a[i]+a[j],mod,1); 
		   	   sum+=(a[j]*k)%mod;
		   	   //sum%=mod;
		   }
		sum*=a[i];sum%=mod;
		ans=(ans+sum)%mod;
	}
	printf("%lld",ans);
}