朴素贝叶斯分类器

文章目录

• 朴素贝叶斯分类器
• • 贝叶斯公式
  • 前提假设：
  • 朴素贝叶斯分类器表达式
  • 举例
  • 拉普拉斯修正(Laplacian correction)

朴素贝叶斯分类器

贝叶斯公式

 x代表样本，c代表已知类别
$$P(c|x)=\frac{P(c)P(x|c)}{P(x)}(1)$$

前提假设：

 为了方便计算$P(x|c)$,朴素贝叶斯分类器采用了一个假设:**对已知类别，假设所有属性相互独立。**基于这个假设，式(1)可重写为:
$$P(c|x)=\frac{P(c)P(x|c)}{P(x)}=\frac{P(c)}{P(x)}\prod _{i=1}^{d}P(x_i|c)$$
其中d为属性的数目，$x_i$为$x$在第$i$个属性上的取值。

朴素贝叶斯分类器表达式

 由于对所有类别来说$P(x)$相同，根据贝叶斯判定准则:对每个样本$x$选择能使后验概率$P(c|x)$最大的类别标记有：
$$h_{nb}(x)=ar{g}_{c\in y}maxP(c)\prod _{i=1}^{d}P(x_i|c)$$
 一句话概括：朴树贝叶斯分类器的训练过程就是用训练集$D$估计先验概率$P(c)$,为每个属性估计条件概率$P(x_i|c)$。
 令$D_c$表示第$D$的第$c$类样本子集，则估计先验概率
$$P(c)=\frac{|D_c|}{|D|}$$
 对于离散属性,令$D_{c,x_i}$表示集合$D_c$第$i$个属性值为$x_i$的子集，则条件概率$$P(x_i|c)=\frac{|D_{c,x_i}|}{|D_c|}$$

举例

 下面是训练集$D$ ，年龄 、收入、学生、信誉为属性,$d=4$，购买计算机为类别，类别数$y=2$

编号	年龄	收入	学生	信誉	购买计算机
1	$\le 30$	高	否	中	否
2	$\le 30$	高	否	优	否
3	$30\sim 40$	高	否	中	是
4	$\ge 41$	中	否	中	是
5	$\ge 41$	低	是	中	是
6	$\ge 41$	低	是	优	否
7	$30\sim 40$	低	是	优	是
8	$\le 30$	中	否	中	否
9	$\le 30$	低	是	中	是
10	$\ge 41$	中	是	中	是
11	$\le 30$	中	是	优	是
12	$30\sim 40$	中	否	优	是
13	$30\sim 40$	高	是	中	是
14	$\ge 41$	中	否	优	否

 下面是一个测试样本$x$,判断是否购买计算机

编号	年龄	收入	学生	信誉	购买计算机
1	$\le 30$	中	是	中	?

首先计算先验概率$P(c)$，有:
$$P(购买计算机=是)=\frac{9}{14}=0.64$$
$$P(购买计算机=否)=\frac{5}{14}=0.36$$
再为每个属性估计条件概率$P(x_i|c)$
$$P_{年龄\le 30|购买计算机=是}=\frac{2}{9}=0.22$$
$$P_{年龄\le 30|购买计算机=否}=\frac{3}{5}=0.60$$
$$P_{收入=中|购买计算机=是}=\frac{4}{9}=0.44$$
$$P_{收入=中|购买计算机=否}=\frac{2}{5}=0.40$$
$$P_{学生=是|购买计算机=是}=\frac{6}{9}=0.67$$
$$P_{学生=是|购买计算机=否}=\frac{1}{5}=0.20$$
$$P_{信誉=中|购买计算机=是}=\frac{6}{9}=0.67$$
$$P_{信誉=中|购买计算机=否}=\frac{2}{5}=0.40$$
所以根据朴素贝叶斯分类器表达式有:
$$\begin{gathered} P(购买计算机=是)\times P_{年龄\le 30|购买计算机=是}\times P_{收入=中|购买计算机=是} \\ \times P_{学生=是|购买计算机=是}\times P_{信誉=中|购买计算机=是}\approx 0.03 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} P(购买计算机=否)\times P_{年龄\le 30|购买计算机=否}\times P_{收入=中|购买计算机=否} \\ \times P_{学生=是|购买计算机=否}\times P_{信誉=中|购买计算机=否}\approx 0.01 \end{gathered}$$
由于 0.03>0.01，所以朴素贝叶斯分类器将测试样本$x$判别为“购买计算机 = 是”。

拉普拉斯修正(Laplacian correction)

 如果有一个测试样本的属性“信誉 = 低”，那么条件概率
$P(信誉=低|购买计算机=是)=\frac{0}{9}=0$,即使其他属性明显是“购买计算机= 是”，但分类结果都将是“购买计算机 = 否”。为了避免测试样本中其他属性信息被训练集中未出现的属性值“抹去”，可用拉普拉斯修正。
 令$N$表示训练集$D$中可能的类别数，$N_i$表示第$i$个属性的取值数则
先验概率为
$$\hat{P}(c)=\frac{|D_c|+1}{|D|+N}$$
后验概率为
$$\hat{P}(x_i|c)=\frac{|D_{c,x_i}|+1}{|D_c|+N_i}$$
 例如上文例子中,先验概率可以估计为：
$$\hat{P}(购买计算机=是)=\frac{9+1}{14+2}=0.625$$
$$\hat{P}(购买计算机=否)=\frac{5+1}{14+2}=0.375$$
后验概率可以估计为:
$$P(年龄\le 30|购买计算机=是)=\frac{2+1}{9+3}=0.25$$
$P(信誉=低|购买计算机=是)$可以估计为:
$$P(信誉=低|购买计算机=是)=\frac{0+1}{9+3}=0.083$$