HNU 12933 Random Walks Catalan数 阶乘求逆元新技能

　　一个Catalan数的题，打表对每个数都求一次逆元会T，于是问到了一种求阶乘逆元的打表新方法。 比如打一个1~n的阶乘的逆元的表，假如叫inv[n]，可以先用费马小定理什么的求出inv[n]，再用递推公式求出前面的项。

　　我们记数字 x 的逆元为f(x) (%MOD)。

　　因为 n! = (n-1)! * n

　　所以 f(n!) = f( (n-1)! * n) = f( (n-1)! ) * f(n)。

　　所以 f( (n-1)! ) = f(n!) * f( f(n) ) = f(n!) * n   (逆元的逆元就是他自身)

这样子我们就可以用后项推出前面的项了。

题目是说，有一个人从0点开始走路，每次可以向前走或者向后走，每次可以走一步，但是所有的位置必须大于等于0，问走过2n步之后又回到0点有多少种方法。

　　其实，如果我们把向前走看做是进栈，向后走看做是出栈，方法数就是Catalan数。

　　所以我们只需要打一张表然后查表就好了。

代码：　

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <queue>
#include <stack>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <functional>
#include <cctype>
#include <time.h>

using namespace std;

typedef __int64 ll;

const int INF = 1<<30;
const int MAXN = (int) 2e6+55;
const ll MOD = (ll) 1e9+7;

ll ans[MAXN];
ll fac[MAXN];
ll inv[MAXN];

inline ll myPow(ll x, ll n) {
    ll res = 1;
    while (n>0) {
        if (n&1) res = (res*x)%MOD;
        x = (x*x)%MOD;
        n >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    #ifdef Phantom01
        freopen("HNU12933.txt", "r", stdin);
    #endif //Phantom01

    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < MAXN; i++) fac[i] = (fac[i-1]*i)%MOD;
    inv[MAXN-1] = myPow(fac[MAXN-1], MOD-2);
    for (int i = MAXN-2; i > 0; i--) {
        inv[i] = (inv[i+1]*(i+1))%MOD;
    }

    for (int i = 1; i < (MAXN>>1); i++)
        ans[i] = (((fac[2*i]*inv[i+1])%MOD)*inv[i])%MOD;

    int T;
    scanf("%d", &T);

    int n;
    while (T--) {
        scanf("%d", &n);
        printf("%I64d
", ans[n]);
    }

    return 0;
}

其中，这个是用来打阶乘逆元的：

    //阶乘
    fac[0] = 1;
    for (int i = 1; i < MAXN; i++) fac[i] = (fac[i-1]*i)%MOD;
    //逆元
    inv[MAXN-1] = myPow(fac[MAXN-1], MOD-2);
    for (int i = MAXN-2; i > 0; i--) {
        inv[i] = (inv[i+1]*(i+1))%MOD;
    }