浅谈全排列与组合的生成

例：输出从1,2......m,中任取k个数的所有组合。m=5，k=3时有543,542,541,532,531,521,432,431,421,321有C(m,k)个。

法一：枚举方法

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    for (int x = 1; x <= n - 2; ++x)
        for (int y = x + 1; y <= n - 1; ++y)
            for (int z = y + 1; z <= n; ++z)
                printf("%d %d %d\n", x, y, z);
    system("pause");
    return 0;
}

n = 5时将输出123,124,125,134,135,145,234，235,245,345。

法二：递归实现

设函数comb（int m，int k)是找出1,2，.....m中任取k个数的所有组合，当组合的第一个数字选定后，其后的数字的就是从余下的m-1个数选k-1个数的组合，问题转化为求comb（m-1, k-1).需要一个全局数组存放结果，将确定的k个数字组合的第一个数存储在a[k]中，求出一个组合后输出a数组中的一个组合。每个组合的第一个数字可以是m,m-1,.....k.函数确定组合的第一个数字后，如果还为确定组合的其余元素，则继续递归，否则输出。

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int MAX = 10;
int a[10];
void comb(int m, int k)
{
    int i, j;
    for (i = m; i >= k; --i)
    {
        a[k] = i;                    //每个组合的第一个数可以是m,m-1.....k
        if (k > 1)
            comb(i - 1, k - 1);        //k>1继续递归
        else
        {
            for (j = a[0]; j > 0; --j)
                printf("%d", a[j]);
            printf("\n");
        }
    }
}
int main()
{
    int m, k;
    cin >> m >> k;
    a[0] = k;                //a[0]用来表示k 
    comb(m, k);
    return 0;
}

输入m=5，k=3，输出543,542,541,532,531,521,432,431,421,321。

全排列的生成:

最简单的方法就是使用STL<algorithm>中的next_permutation,其返回bool值，不过经常用就啥都忘了。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>            //for sort and next_permutation 
using namespace std;
int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    int p[n];
    for (int i = 0; i < n; ++i)
        scanf("%d", &p[i]);
    sort(p, p + n);                //处理乱序输入，适用于可重复集合
    do {
        for (int i = 0; i < n; ++i)
            printf("%d ", p[i]);
        printf("\n");
    } while (next_permutation(p, p + n));   //bool next_purmutation(begin, end) 
    system("pause");
    return 0;
} 

递归生成1-n的全排列(无重复元素）：如abc的全排列有abc,acb,bac,bca,cba,cab,一共3！个。

 设对R={r1,r2,......rn}全排列，设Ri = R - {ri},perm(X)表示集合X的全排序，（ri）perm（X)表示X全排序前加前缀ri

全排列的递归定义：设n是集合中元素个数

                  r                     n = 1

perm(R)=  (r1)perm(R1)    

                 ......

　　　　　　(rn)perm(Rn)

如果给定集合{a,b,c,d},所有可能的排列由下列排列组成

1.以a开头的后面跟着（b,c,d)的所有排列

2.以b开头的后面跟着(a,c,d)的所有排列

3.以c开头的后面跟着（a,b,d)的所有排列

4.以d开头的后面跟着（a,b,c)的所有排列

递归线索是“后面跟着。。。的所有排列”，若能够解决n-1个元素集合的排列，就可以解决n个元素集合的排列问题。

处理时将所有数分别与第一个数交换，这样就总是在处理后n-1个数的全排列。

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>            //for swap(x,y)
using namespace std;
void perm(char *a, int i, int n)
{
    if (i == n)                            //递归出口
    {
        for (int j = 0; j <= n; ++j)
            printf("%c", a[j]);
        printf("\n");
    }
    else
    {
        for (int j = i; j <= n; ++j)
        {
            swap(a[i], a[j]);
            perm(a, i + 1, n);
            swap(a[i], a[j]);            //第二个swap用于恢复与第一个数交换
        }
    }
}
int main()
{
    char a[3] = {'a', 'b', 'c'};
    perm(a, 0, 2);                      //初始调用perm(list, 0, n-1)
    system("pause");
    return 0;
}

执行后输出abc,acb,bac,bca,cba,cab，按照字典序输出。

根据这种思路还有一种方法确定递归函数：（参考刘汝佳《算法竞赛入门经典》）

1已经确定的前缀序列，以便输出

2需要进行全排列的元素集合，以便依次选作第一个元素

伪代码：

void perm(序列A， 集合S）

{

　　if（S为空）

　　　　输出序列A；

　　else 按照从小到大的顺序依次考虑S的每个元素v

　　　　perm（在A的末尾添加v后得到的新序列，S-{v}）；

}

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
void perm(int n, int *a, int cur)
{
    int i, j;
    if (cur == n)                //递归边界
    {
        for (i = 0; i < n; ++i)
            printf("%d", a[i]);  //处理字母时只需要改成printf("%c", a[i]+'a'-1);
        printf("\n");
    }
    else for (i = 1; i <= n; ++i)  //在a[cur]中填各种整数i
    {
        bool ok = 1;
        for (j = 0; j < cur; ++j)
            if (a[j] == i)
                ok = 0;              //若i在a[0]...a[cur-1]出现过，则不能再选
        if (ok)                      //ok为真说明i没有在序列中出现过
        {                         //就把i添加到序列末尾后递归调用，这样处理就不必保存集合S了
            a[cur] = i;
            perm(n, a, cur + 1);
        }
    }
}
int main()
{
    int a[] = {1, 2, 3};
    perm(3, a, 0);                //初始调用perm(n, a, 0)
    system("pause");
    return 0;
}

输出结果123,132,213,231,312,321，改成字母后输出abc,acb,bac,bca,cba,cab。