[NOIP2018(PJ)] 摆渡车

题目链接

题意

　　有 $n$ 个同学在等车，每位同学从某时刻开始等车，相邻两趟车之间至少间隔 $m$ 分钟。凯凯可以任意安排发车时间，求所有同学等车时间之和的最小值。

分析

　　这题首先能想到是动态规划

　　很明显先要对每个人开始等待的时间进行排序

　　如果设 $f[i]$ 为前 $i$ 个人都已离开的最少等车时间，由于这样做发车时间与每个人上车时间不好确定，所以考虑加一维

　　设 $f[i][j]$ 为第 $i$ 个人等待的第 $j$ 分钟时，前 $i$ 个人都已恰好离开时的最少等车时间之和

　　我们可以枚举 $i$ 和 $j$，同时对 $i$ 后面的同学的值进行更新

　　此时第 $k \, (k>i)$ 个人等车的时间 $now$ 为 $max(t[i]+j+m-t[k],0)$

　　所以 $f[k][now]=f[i][j]+sumlimits_{x=i+1}^k (now+t[k]-t[x])$

　　但是求和又会增加一维时间复杂度，于是可以先预处理出 $t[i]$ 的前缀和 $s[i]$

　　然后 $f[k][now]=f[i][j]+(now+t[k]) imes (k-i)-(s[k]-s[i])$

　　最后在 $n$ 位同学都已离开的情况中找出最小值

　　时间复杂度为 $O(n^2 m)$，但实际上要比这个小很多

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <cmath>
using namespace std;
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
#define N 505

int n, m, ans = inf;
int t[N], s[N], f[N][N];

int main() {
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", t + i);
    sort(t + 1, t + n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        s[i] = s[i - 1] + t[i];
    t[0] = -inf;
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0][0] = 0;
    for (int i = 0; i <= n; i++) {
        int mj = min(m - 1, t[i + 1] - t[i]);
        for (int j = 0; j <= mj; j++)
            if (f[i][j] != inf)
                for (int k = 1; i + k <= n; k++) {
                    int now = max(t[i] + j + m - t[i + k], 0);
                    f[i + k][now] = min(f[i + k][now],
                        f[i][j] + (t[i + k] + now) * k - (s[i + k] - s[i]));
                }
    }
    for (int i = 0; i < m; i++)
        ans = min(ans, f[n][i]);
    printf("%d
", ans);

    return 0;
}