【高级数据结构】左偏树
一、左偏树是什么
左偏树的基础——堆
我们曾经学习过基础数据结构之一——堆（heap）
堆支持三种操作（以小根堆为例）
1、查询（query）：查询堆中最小的元素
2、删除（del）：删除堆中的任意一个元素
3、插入（insert）：插入一个新元素
4、维护（modify）：维护堆的性质：任何非叶子结点的权值都大于它的所有子结点。在删除和插入后进行维护
左偏树的用途
如果题目要求我们将两个不相关但类型相同（都是大根对或小根堆）的堆合并成一个大堆，我们就用到了左偏树。
二、左偏树的变量定义
child[i][0]和child[i][1]是左右结点的指针，val[i]是当前结点的权值，dis[i]是当前结点的距离标号,fa[i]该结点的父节点
距离标号：当前结点到离它最近的叶子节点的距离
三、左偏树的性质 （以小根堆为例）
（1）、节点的权值小于等于它左右儿子的权值。
和堆的性质相同
（2）、节点的左儿子的距离不小于右儿子的距离。
这就是为什么这棵树叫做左偏树，也就是左边的结点总数始终大于或等于右边孩子的结点总数
在写平衡树的时候，我们是确保它的深度尽量的小，这样访问每个节点都很快。但是左偏树不需要这样，它的目的是快速提取最小节点和快速合并。所以它并不平衡，而且向左偏。但是距离和深度不一样，左偏树并不意味着左子树的节点数或是深度一定大于右子树。
**（3）、节点的距离等于右儿子的距离+1。
（4）、一个n个节点的左偏树距离最大为 log(n+1)-1
证明如下：
若左偏树的距离为一定值，则结点数最少的左偏树是完全二叉树。
结点最少的话，就是左右儿子距离一样，这就是完全二叉树了。
若一棵左偏树的距离为k，则这棵左偏树至少有 2^{k+1}-1个节点。
距离为k的完全二叉树高度也是k，节点数就是 2^{k+1}-1个。
这样就可以证明性质四了。
因为 n>=2^{k+1}-1，所以 k<=log(n+1)-1。
四、左偏树的操作
（1）、合并
现在有两个小根堆A，B，要将他们合并
1、如果A根结点的权值大于B根结点，便交换A,B，保证接下来操作时A根结点的权值小于或等于B根结点。
2、把A结点的根结点作为两树合并后的新树C的根结点
3、合并A的右子树和B堆，因为左偏树的左子树较重，所以为了维持操作时间复杂度为O（logN），所以合并A的右子树和B堆。
4、合并了A的右子树和B之后，A的右子树的距离可能会变大，当A的右子树的距离大于A的左子树的距离时，性质2会被破坏。在这种情况下，我们只须要交换A的右子树和左子树。
而且因为A的右子树的距离可能会变，所以要更新A的距离标号。这样就合并就结束了。
再理解一下代码：
int merge (int x,int y)
{
if (x==0||y==0)
return x+y;
if (val[x]>val[y]||(val[x]==val[y]&&x>y))
swap (x,y);
child[x][1]=merge (child[x][1],y);
fa[child[x][1]]=x;
if (dis[child[x][0]]<dis[child[x][1]])
swap (child[x][0],child[x][1]);
dis[x]=dis[child[x][1]]+1;
return x;
}
时间复杂度：我们可以看出每次我们都把它的右子树放下去合并。因为一棵树的距离取决于它右子树的距离(性质三)，所以拆开的过程不会超过它的距离。根据性质四，不会超过 log(n_x+1)+log(n_y+1)-2，复杂度就是 O(log(n_x)+log(n_y))
（2）、插入
插入一个节点，就是把一个点和一棵树合并起来。
因为其中一棵树只有一个节点，所以插入的效率是 O(log n)
（3）删除最小/大点
因为根是最小/大点，所以可以直接把根的两个儿子合并起来。
#include<bits/stdc++.h>
#define MAXN 100010
using namespace std;
int n,m;
int child[MAXN][2],val[MAXN],dis[MAXN],fa[MAXN];
int merge (int x,int y)
{
if (x==0||y==0)
return x+y;
if (val[x]>val[y]||(val[x]==val[y]&&x>y))
swap (x,y);
child[x][1]=merge (child[x][1],y);
fa[child[x][1]]=x;
if (dis[child[x][0]]<dis[child[x][1]])
swap (child[x][0],child[x][1]);
dis[x]=dis[child[x][1]]+1;
return x;
}
int get_rt (int x)
{
while (fa[x])
x=fa[x];
return x;
}
void del (int x)
{
val[x]=-1;
fa[child[x][0]]=fa[child[x][1]]=0;
merge (child[x][0],child[x][1]);
}
int main()
{
scanf ("%d%d",&n,&m);
dis[0]=-1;
for (int i=1;i<=n;i++)
scanf ("%d",&val[i]);
for (int i=1;i<=m;i++)
{
int opt,x,y;
scanf ("%d",&opt);
if (opt==1)
{
scanf ("%d%d",&x,&y);
if (x!=y&&val[x]!=-1&&val[y]!=-1)
{
int x_rt=get_rt (x),y_rt=get_rt (y);
merge (x_rt,y_rt);
}
}
else
{
scanf ("%d",&x);
if (val[x]==-1)
printf ("-1
");
else
{
int x_rt=get_rt (x);
printf ("%d
",val[x_rt]);
del (x_rt);
}
}
}
return 0;
}