【cf contest 1119 H】Triple

题目

给出 (n) 个三元组({ a_i,b_i,c_i })和(x,y,z)；

将每个三元组扩展成((x)个(a_i)，(y)个(b_i)，(z)个(c_i))；

问从(n)组里面每组选一个数，这(n)个数异或值为x 的方案数​(mod 998244353)是多少；

(1 le n le 10^5 , 1 le k le 17 , 0 le x,y,z le 10^9 , 0 le a_i,b_i,c_i lt 2^k) ；

题解

• 最后的答案异或一个 (oplus_{i=1}^{n} a_i) ，令({a_i,b_i,c_i})变成$ { 0 , a_i wedge b_i , a_i wedge c_i } $ ；

• 令(F_{i,0}+=x , F_{i,b_i}+=y , F_{i,c_i}+=z) ，把所有(fwt(F_i))点乘起来再(ifwt)回去即可；

• 考虑如何求最后的乘积(Pi F_i)；

• 对于(fwt(F_i))，每一项一定都是(x+y+z , x+y-z , x-y+z , x - y - z) 之一;

  设纵向的个数为(i,j,k,l)，解出每一位(i,j,k,l)即可快速算出最后的乘积，首先:

  [egin{align} i +j +k + l = n end{align} ]

  令只考虑(F_i,b_i=1)，设所有(F)加起来(fwt)到得到对应位值上的值为(p)(x=0,y=1,z=0):

  [i + j - k - l = p ]

  同理只令(F_i,c_i = 1)，有(x=0,y=0,z=1)：

  [i - j + k - l = p ]

  令(F_{i,b_i wedge c_i}=1)，相当于上面两个的点值乘法，有

  [i - j - k + l = p ]

  解方程即可；

• 最后(ifwt)回来；

  #include<bits/stdc++.h>
  #define mod 998244353
  #define ll long long 
  using namespace std;
  const int N=1<<17;
  int n,X,Y,Z,l,s;
  int A[N],B[N],C[N],ans[N];
  char gc(){
  	static char*p1,*p2,S[1000000];
  	if(p1==p2)p2=(p1=S)+fread(S,1,1000000,stdin);
  	return(p1==p2)?EOF:*p1++;
  }
  int rd(){
  	int x=0;char c=gc();
  	while(c<'0'||c>'9')c=gc();
  	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0',c=gc();
  	return x;
  }
  int pw(int x,int y){
  	int re=1;
  	while(y){
  		if(y&1)re=(ll)re*x%mod;
  		y>>=1;x=(ll)x*x%mod;
  	}
  	return re;
  }
  void fwt(int*a){
  	for(int i=1;i<l;i<<=1)
  	for(int j=0;j<l;j+=i<<1)
  	for(int k=0;k<i;++k){
  		int t1=a[j+k],t2=a[j+k+i];
  		a[j+k]=t1+t2;
  		a[j+k+i]=t1-t2;
  	}
  }
  void dec(int&x,int y){x-=y;if(x<0)x+=mod;}
  void ifwt(int*a){
  	for(int i=1;i<l;i<<=1)
  	for(int j=0;j<l;j+=i<<1)
  	for(int k=0;k<i;++k){
  		int iv2=(mod+1)/2;
  		int t1=a[j+k],t2=a[j+k+i];
  		a[j+k]=(ll)(t1+t2)*iv2%mod;
  		a[j+k+i]=(ll)(t1-t2+mod)*iv2%mod;
  	}
  }
  int main(){
  	//freopen("H.in","r",stdin);
  	//freopen("H.out","w",stdout);
  	n=rd();l=1<<rd();
  	X=rd();Y=rd();Z=rd();
  	for(int i=1;i<=n;++i){
  		int a=rd(),b=rd(),c=rd();
  		s^=a;b^=a;c^=a;a=b^c;
  		A[b]++,B[c]++,C[a]++;
  	}
  	fwt(A);fwt(B);fwt(C);
  	int t1=((ll)X+Y+Z)%mod;
  	int t2=((ll)X+Y-Z+mod)%mod;
  	int t3=((ll)X-Y+Z+mod)%mod;
  	int t4=((ll)X-Y-Z+mod+mod)%mod;
  	for(int i=0;i<l;++i){
  		ans[i] = 
  		(ll)pw(t1,(n+A[i]+B[i]+C[i])>>2)
  		*pw(t2,(n+A[i]-B[i]-C[i])>>2)%mod
  		*pw(t3,(n-A[i]+B[i]-C[i])>>2)%mod
  		*pw(t4,(n-A[i]-B[i]+C[i])>>2)%mod;
  	}
  	ifwt(ans);
  	for(int i=0;i<l;++i)printf("%d ",ans[i^s]);
  	return 0;
  }