(mathrm{Lemma} 1.) 从((0,0))到((n,m))的矩形格路径条数为二项式系数(inom{n+m}{n}=inom{n+m}{m}).
证明：将两种移动的方案视为球染色分方案即可.
(mathrm{Corollary} 1.) 从((0,0))到((n,n))不越过直线(y=x)的格路径条数为卡特兰数(mathrm{C}_n).
证明：向右走对应数字进栈，向上走对应数字出栈，则路径条数对应序列出栈方案数，即为卡特兰数(mathrm{C}_n).
(mathrm{Corollay} 2.) 从((0,0))到((n,m)(ngeq m))不越过直线(y=x)的格路径条数为(inom{n+m}{m}-inom{n+m}{m-1}).
证明：
考虑补集转化，总路径条数为(inom{n+m}{m})，只需计算不合法路径条数，如图：
对于从((0,0))到(mathrm{endpos}(n=8,m=7))的非法格路径，可以向下平移得到从((0,-1))到((n=8,m-1=6))的接触直线(y=x)的格路径，那么现在考察这样的路径有多少条.
显然，任何一条接触直线(y=x)的格路径都有一个最早接触点((a,a))，不妨称((0,-1))到((a,a))的子路径为(mathrm{Path} gamma_1). 根据反射原理，所有(mathrm{Path} gamma_1)和以((-1,0))为起点，((a,a))为终点的路径(mathrm{Path} gamma_2)一一对应，由于从((-1,0))到((n,m-1))的路径必然经过(y=x)，那么总共的接触直线(y=x)的格路径条数就和((-1,0))到((n,m-1))的路径总数一一对应.
所以不合法的路径条数就是(inom{n-(-1)+m-1}{m-1}=inom{n+m}{m-1})，那么结论得证.