「SNOI2019」通信

传送门

Description

(n)个排成一列的哨站要进行通信。第(i)个哨站的频段为(a_i)。

每个哨站(i)需要选择以下二者之一：

1. 直接连接到控制中心，代价为(W)；
2. 连接到前面的某个哨站(j (j<i))，代价为(|a_j-a_i|)。

每个哨站只能被后面的至多一个哨站连接。

请你求出最小可能的代价和。

Description

很容易想到一种最小费用最大流的模型

把每个点拆成(x_i)和(y_i)

对于每个(i)，连边

1. (S ightarrow x_i :w=1,c=0)
2. (S ightarrow y_i:w=1,c=W)
3. (y_i ightarrow T :w=1,c=0)
4. (x_i ightarrow y_j (j>i) :w=1,c=|a_i-a_j|)

这样，边数(O(n^2))，点数(O(n))，显然是不行的

考虑优化中间部分的连边

我们建立一个分治的过程，对于当前，考虑(x)的下标为([l,mid])到(y)的下标为([mid+1,r])的连边

分别处理形如(a_i-a_j (i>j))和(a_j-a_i (i>j))的两种情况的边，它们的处理方式相似

如何处理第一种情况？

把(a_l)~(a_{mid})的值离散化后，新建表示这些值的节点，从大到小把这些点连接成为一个链

使用类似前后缀优化建图的方式

将(x_l)~(x_{mid})连接到链的适当位置，其中(w=1,c=a_i)

链的适当位置向(y_{mid+1})~(y_r)连边，其中(w=1,c=-a_j)

Code 

#include<bits/stdc++.h>
#define dbg1(x) cerr<<#x<<"="<<(x)<<" "
#define dbg2(x) cerr<<#x<<"="<<(x)<<"
"
#define dbg3(x) cerr<<#x<<"
"
#define M(x,y) memset(x,y,sizeof x)
#define ll long long
using namespace std;
#define reg register
inline ll read()
{
	ll x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int N=12005,inf=1e9;
class Flow
{
	bool vis[N],inq[N];ll dis[N];queue<int>q;
	struct edge{int to,w,c,nex;}e[N*10];int cur[N],hr[N],en;
	bool spfa()
	{
		for(int i=S;i<=T;++i) cur[i]=hr[i],inq[i]=0,dis[i]=1e18;
		for(dis[S]=0,inq[S]=1,q.push(S);!q.empty();)
		{
			int u=q.front();q.pop(),inq[u]=0;
			for(int i=hr[u];i;i=e[i].nex)
			if(dis[e[i].to]>dis[u]+e[i].c&&e[i].w)
			{
				dis[e[i].to]=dis[u]+e[i].c;
				if(!inq[e[i].to]) inq[e[i].to]=1,q.push(e[i].to);
			}
		}
		return dis[T]<inf;
	}
	int dfs(int x,int f)
	{
		if(x==T||!f) return f;vis[x]=1;
		int w,used=0;
		for(int &i=cur[x];i;i=e[i].nex)
		if(dis[e[i].to]==dis[x]+e[i].c&&e[i].w&&!vis[e[i].to])
		{
			w=dfs(e[i].to,min(f-used,e[i].w));
			e[i].w-=w;e[i^1].w+=w;used+=w;
			if(used==f) break;
		}
		vis[x]=0;return used;
	}
    public:
		int S,T;
		Flow(){S=0;en=1;}
		void ins(int x,int y,int w,int c)
		{	dbg1(x);dbg2(y);
			e[++en]=(edge){y,w,c,hr[x]},hr[x]=en;
			e[++en]=(edge){x,0,-c,hr[y]},hr[y]=en;
		}
		ll Ans(){ll r=0;while(spfa())r+=dfs(S,inf)*dis[T];return r;}
}F;
int n,W,a[N],ar[N],tot;
void Solve(int l,int r)
{
	if(l==r) return;
	int mid=(l+r)>>1,tt,i,j;
	#define lb(x) lower_bound(ar+1,ar+1+tt,x)-ar
	#define p(x) tot+x

	for(tt=0,i=l;i<=mid;++i) ar[++tt]=a[i];
	sort(ar+1,ar+tt+1);tt=unique(ar+1,ar+tt+1)-ar-1;
	for(i=2;i<=tt;++i) F.ins(p(i),p(i-1),inf,0);
	for(i=l;i<=mid;++i) F.ins(i,p(lb(a[i])),1,a[i]);
	for(i=mid+1;i<=r;++i) if((j=lb(a[i]))<=tt) F.ins(p(j),i+n,1,-a[i]);
	tot+=tt;
	
	for(tt=0,i=mid+1;i<=r;++i) ar[++tt]=a[i];
	sort(ar+1,ar+tt+1);tt=unique(ar+1,ar+tt+1)-ar-1;
	for(i=2;i<=tt;++i) F.ins(p(i-1),p(i),inf,0);
	for(i=l;i<=mid;++i) if((j=lb(a[i]))<=tt) F.ins(i,p(j),1,-a[i]);
	for(i=mid+1;i<=r;++i) F.ins(p(lb(a[i])),i+n,1,a[i]);
	tot+=tt;
	
	Solve(l,mid);Solve(mid+1,r);
}
int main()
{
	tot=(n=read())<<1,W=read();
	reg int i;
	for(i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
	Solve(1,n);F.T=tot+1;
	for(i=1;i<=n;++i) F.ins(F.S,i,1,0),F.ins(F.S,i+n,1,W),F.ins(i+n,F.T,1,0);
	printf("%lld
",F.Ans());
}

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