[JLOI 2015]骗我呢

传送门

Description

求给(n*m)的矩阵填数的方案数

满足：

[1leq x_{i,j}leq m ]

[x_{i,j}<x_{i,j+1} ]

[x_{i,j}<x_{i-1,j+1} ]

Solution 

(f[i][j])表示当前第(i)行少的数字是(j)的方案数

[f[i][j]=sum_{k=1}^{j+1}f[i-1][k]=f[i][j-1]+f[i-1][j+1] ]

观察dp的转移方程

发现它和路径计数的过程很类似

通过等价变化，答案即为：

从((0,0))到((n+m+1,n))且不经过直线,(A:y=x+1),(B:y=x-(m+2))的方案数

走的方式为只能沿坐标轴的正方向

假如说如果没有限制条件，从((0,0)) 到((x,y)) 的方案数是(inom{x+y}{x})

接下来，我们考虑如何进行容斥：

考虑一种关于自身长度奇偶性的容斥

简化一下不合法的经过的路线，有两种情况：(ABABAB...)和(BABABA...)

这里，如若连着触碰一个条线，我们把它当作是一次

设终点为((x,y))，它关于(A)的对称点是((x_1,y_1))

那么从((0,0))到((x_1,y_1))的路径可以对应一条必然经过了一次(A)线的路径，所以它的结尾肯定是(AB)或(A)

将其减去

设((x_1,y_1))关于(B)的对称点是((x2_y2))

那么从((0,0))到((x2,y2))的路径可以对应一条必然经过了一次(BA)的路径，所以它的结尾肯定是(BA)或(BAB)

将其加回

......

如此往复，直到不存在所要求的路径的后缀

可以发现，这样一来，恰好所有以(A)开头的都被计算了奇数次，也就是被减了一次

以(B)开头的不合法路径相似计算即可

Code 

//f[i][j]表示当前第i行少的数字是j的方案数
//f[i][j]=sum_{k=1}^{j+1}f[i-1][k]=f[i][j-1]+f[i-1][j+1] 
//把改问题转换为路径问题，用组合数加容斥来做 
#include<bits/stdc++.h>
#define reg register
#define ll long long
#define db double
using namespace std;
inline int read()
{
	int x=0,f=1;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
	while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-'0';ch=getchar();}
	return x*f;
}
const int MN=1e6+5,P=1e9+7;
int n,m,M;
int fac[MN<<2],inv[MN<<2];
int Mul(int x,int y){return (1ll*x*y)%P;}
int Add(int x,int y){y=((y%P)+P)%P;return (x+y)%P;}
int X,Y,_,ans;
int C(int x=M,int y=Y)
{
	if(x<0||y<0||y>x)return 0;
	return Mul(Mul(fac[x],inv[y]),inv[x-y]);
}
void _1(){X=Y-1;Y=_+1;_=X;}
void _2(){X=Y+(m+2);Y=_-(m+2);_=X;}
int main()
{
	n=read();m=read();M=2*n+m+1;
	_=X=n+m+1;Y=n;
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	register int i,tmp;
	for(i=2;i<=M;++i) fac[i]=Mul(fac[i-1],i);
	for(i=2;i<=M;++i) inv[i]=Mul(inv[P%i],(P-P/i));
	for(i=2;i<=M;++i) inv[i]=Mul(inv[i-1],inv[i]);
	ans=C();
	for(i=1;;++i)
	{
		if(i&1) _1();else _2();if(X<0||Y<0) break;
		ans=Add(ans,(-1)*(i&1?1:-1)*C());
	}
	_=X=n+m+1;Y=n;
	for(i=1;;++i)
	{
		if(i&1) _2();else _1();if(X<0||Y<0) break;
		ans=Add(ans,(-1)*(i&1?1:-1)*C());
	}
	return 0*printf("%d
",ans);
}

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