[CF997C] Sky Full of Stars

前言

T7猎天下第一！

题目

洛谷

CF

讲解

这种题当然优先考虑容斥。

没有什么思路的时候就直接写暴力式子然后试图优化它。

首先我们先写出至少有一行或一列颜色相同的方案数：

[2 imes sum_{i=1}^n(-1)^{i-1} imes C(n,i) imes 3^{n^2-in+i} ]

行列等价，所以要乘 (2)。

但显然我们算重了既有行颜色相同又有列颜色相同的情况，所以我们要减掉它们，需要减掉的东西可以通过暴力枚举行列颜色相同个数表示出来：

[sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} imes 3 imes C(n,i) imes sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} imes C(n,j) imes 3^{n^2-in-jn+ij} ]

我们考虑把与 (j) 无关的东西提到前面并重新改写一下式子。

[sum_{i=1}^n (-1)^{i-1} imes 3 imes C(n,i) imes 3^{n^2-in} imes sum_{j=1}^n (-1)^{j-1} imes C(n,j) imes (3^{i-n})^{j} ]

后面有幂形式，又有组合数，你想到了什么？

二项式定理！逆向使用！

[egin{aligned} &sum_{i=1}^n (-1)^{i} imes 3 imes C(n,i) imes 3^{n^2-in} imes sum_{j=1}^n (-1)^{j} imes C(n,j) imes (3^{i-n})^{j}\ =&sum_{i=1}^n (-1)^{i} imes 3 imes C(n,i) imes 3^{n^2-in} imes sum_{j=1}^n C(n,j) imes (-3^{i-n})^{j}\ =&sum_{i=1}^n (-1)^{i} imes 3 imes C(n,i) imes 3^{n^2-in} imes sum_{j=1}^n C(n,j) imes 1^{n-j} imes(-3^{i-n})^{j}\ =&sum_{i=1}^n (-1)^{i} imes 3 imes C(n,i) imes 3^{n^2-in} imes (1-3^{i-n})^{j}\ end{aligned}]

合理吗？

不合理，上面的式子是错的！因为二项式定理是从零开始的，所以最终的答案应该为：

[2 imes sum_{i=1}^n(-1)^{i-1} imes C(n,i) imes 3^{n^2-in+i}-sum_{i=1}^n (-1)^{i} imes 3 imes C(n,i) imes 3^{n^2-in} imes ((1-3^{i-n})^{j}-1) ]

写这么详细是因为我这个cb在推式子的时候把二项式定理搞反了，调了很久。

代码

戳我

//12252024832524
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define TT template<typename T>
using namespace std; 

typedef long long LL;
const int MAXN = 1000005;
const int MOD = 998244353;
const int inv3 = 332748118;
LL n,ans;

LL Read()
{
	LL x = 0,f = 1;char c = getchar();
	while(c > '9' || c < '0'){if(c == '-')f = -1;c = getchar();}
	while(c >= '0' && c <= '9'){x = (x*10) + (c^48);c = getchar();}
	return x * f;
}
TT void Put1(T x)
{
	if(x > 9) Put1(x/10);
	putchar(x%10^48);
}
TT void Put(T x,char c = -1)
{
	if(x < 0) putchar('-'),x = -x;
	Put1(x); if(c >= 0) putchar(c);
}
TT T Max(T x,T y){return x > y ? x : y;}
TT T Min(T x,T y){return x < y ? x : y;}
TT T Abs(T x){return x < 0 ? -x : x;}

int qpow(int x,LL y){int ret = 1;while(y){if(y & 1) ret = 1ll * ret * x % MOD;x = 1ll * x * x % MOD;y >>= 1;}return ret;}
int fac[MAXN],ifac[MAXN];
void init(int x)
{
	fac[0] = ifac[0] = 1;
	for(int i = 1;i <= x;++ i) fac[i] = 1ll * fac[i-1] * i % MOD;
	ifac[x] = qpow(fac[x],MOD-2);
	for(int i = x-1;i >= 1;-- i) ifac[i] = ifac[i+1] * (i+1ll) % MOD;
}
LL C(int x,int y)
{
	if(x < y || y < 0) return 0;
	return 1ll * fac[x] * ifac[y] % MOD * ifac[x-y] % MOD;
}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	n = Read();
	init(n);
	for(int i = 1;i <= n;++ i) ans = (ans + ((i & 1) ? 1 : -1) * C(n,i) * qpow(3,(n-i)*n+i)) % MOD;
	ans = ans * 2ll % MOD;
	for(int i = 1;i <= n;++ i)
		ans = (ans - ((i & 1) ? -1 : 1) * 3 * C(n,i) * qpow(3,(n-i)*n) % MOD * (qpow(1-qpow(inv3,n-i),n)-1)) % MOD;
	Put((ans+MOD)%MOD);
	return 0;
}