[ARC120E] 1D Party

前言

能 ( t dp) 就不要乱猜结论贪心。

题目

AtCoder

题目大意：

给出 (n) 个人的数轴上的坐标 (a_i)，保证为偶数，每个人的速度至多为 (1)，需要使得每一个 (iin[1,n-1])，第 (i) 个人与第 (i+1) 个人相遇过，求最小时间。

(1le nle 2 imes 10^5;0le a_ile 10^9;a_1<a_2<...<a_n.)

讲解

本做法时间复杂度为 (O(nlog_2n))。

首先二分一个时间 (t)，考虑 ( t dp) 验证。

我们发现对于每个人，无非只有两种策略：

• 先向右走，碰到第 (i+1) 个人后向左走。
• 先向左走，碰到第 (i-1) 个人后向右走。

令 (dp_{i,0}) 表示先向右走，向右最多能走多远；(dp_{i,1}) 表示先向左走，向右最多能走多远。

注意这里定义的都是向右能走多远。特别的，(dp_{1,0}=dp_{1,1}=t)。

然后开始大力分类讨论。为了表述方便，我们将第 (i-1) 个人称为她，第 (i) 个人称为他。

1.她先向右走，他先向左走。

合法条件：由于她先向右走，所以在她走到右边尽头的时候他必须已经到达，否则无法碰面。

if(a[i-1]+dp[i-1][0] >= a[i]-dp[i-1][0])

显然一旦相遇，他就会往右走，所以有如下转移：

up(dp[i][1],t-(a[i]-a[i-1]));

ps: (up(x,y)) 表示 (x=max(x,y))。

2.她先向右走，他先向右走。

合法条件同上(可以视作他先向右走0步)。

此时他们的间距保持不变，而一旦她向左走，他就追不上她了，所以有：

up(dp[i][0],dp[i-1][0]-(a[i]-a[i-1])/2);

3.她先向左走，他先向右走。

合法条件：她在 (t) 秒末一定会在 (a_{i-1}+dp_{i,1})，所以此时他一定要能到此处才行。

if(a[i-1]+dp[i-1][1] >= a[i]-t)

他向右走可以支配的时间显然为总时间减去他到她右端点的时间，而向右走显然是个来回，所以还要除以二。

up(dp[i][0],(t-a[i]+a[i-1]+dp[i-1][1])/2);

4.她先向左走，他先向左走。

合法条件同上。

相遇后显然两人都应该向右走，所以有：

up(dp[i][1],dp[i-1][1]+a[i-1]-a[i]);

代码

int dp[MAXN][2];//0:go right first; 1:opposite
void up(int &x,int y){x = Max(x,y);}
bool check(int t)
{
	for(int i = 2;i <= n;++ i) dp[i][0] = dp[i][1] = -INF;
	dp[1][0] = dp[1][1] = t;
	for(int i = 2;i <= n;++ i)
	{
		bool suc = 0;
		//rl & rr
		if(dp[i-1][0] >= (a[i]-a[i-1])/2)
		{
			up(dp[i][1],t-(a[i]-a[i-1]));
			up(dp[i][0],dp[i-1][0]-(a[i]-a[i-1])/2);
			suc = 1;
		}
		//lr && ll
		if(a[i-1]+dp[i-1][1] >= a[i]-t)
		{
			up(dp[i][0],(t-a[i]+a[i-1]+dp[i-1][1])/2);
			up(dp[i][1],dp[i-1][1]+a[i-1]-a[i]);
			suc = 1;
		}
		if(!suc) return 0;
	}
	return 1;
}

int main()
{
//	freopen(".in","r",stdin);
//	freopen(".out","w",stdout);
	n = Read();
	for(int i = 1;i <= n;++ i) a[i] = Read();
	if(n <= 3) {Put((a[n]-a[1]) / 2);return 0;}
	int ans = (a[n]-a[1]) / 2,l = 0,r = (a[n]-a[1])/2;
	while(l <= r)
	{
		int mid = (l+r) >> 1;
		if(check(mid)) r = mid-1,ans = mid;
		else l = mid+1;
	}
	Put(ans);
	return 0;
}

后记

第一次尝试用花里胡哨的方式写题解(指使用他和她)，如有不清楚之处，还请见谅，可以在评论区留言。