线性筛逆元

目录

• 讲解
  • part1
  • part2
  • finally
• 代码

讲解

令(f[i])为(i)在取模(p)下的逆元

证明(f[i]=p-f[p\%i]*(p/i)\%p)，理由如下：

part1

首先我们要证明(f[i]=-f[p-i])

(ecause f[i]*i=1)

( herefore f[i]*(-i)=-1)

(-i)是什么？是i的相反数！在取模(p)意义下，(i)的相反数是多少？(p-i)!

( herefore f[i]*(p-i)=-1)

( herefore f[i]=-f[p-i])(两边同时乘以(p-i)的逆元)

part2

其次我们要证明(f[i]=f[i*k]*k)

(ecause f[i*k]*i*k=1)

( herefore f[i*k]*k=f[i])

finally

令(p=k*i+b)

(f[i]=f[i*k]*k=-f[p-i*k]*k=-f[b]*k)

因为(-f[b]*k)是个负数，所以我们需要对其进行处理

( herefore f[i]=p-f[b]*k\%p=p-f[p\%i]*(p/i)\%p)

代码

inv[1] = 1;
for(int i = 2;i <= n;++ i) inv[i] = MOD - 1ll * inv[MOD % i] * (MOD / i) % MOD;