【动态规划】LIS最长上升子序列【入门】

一.最简单的最长上升子序列

AcWing 895. 最长上升子序列
这是一道典型的dp例题， dp的两个重要元素：状态表示和状态计算。其中维度的选择是很关键的，要求既能够表示出转移过程中的状态，而且能够计算出结果，在此基础上，要求维度尽可能小。
我们这里可以用dp[i]来表示以第i个数结尾的数值上升的子序列的集合，属性是max；那么对于状态转移的话，我们可以这样考虑：每一个上升子序列以倒数第二个数选什么来分类。可以有以下情况，dp[i-1]=0（即当前是第一个数），a[k] (k=0,1,……i-1); 要注意这里面并不是每一个状态都存在，我们只需要把存在的状态进行转移就可。
状态转移方程还是很好推的，我们记这个状态可以由上一个状态 j 转移过来，那么本状态的max就等于 j 状态的max+1（本次状态的长度） 。如下：

dp[i]=dp[j]+1;

结合上面两部分，整个转移方程也很容易写出来啦

for(int j=1;j<i;j++)
	if(a[j]<a[i]) //保证是上升子序列
        dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);

最后，一定要记得给dp赋初值呀！
完整代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+7;
ll dp[maxn],n,a[maxn];
int main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[j]<a[i])
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
    }
    ll res=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,dp[i]);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

二： 单调队列优化的最长上升子序列

AcWing 896. 最长上升子序列 II
朴素版本的我们已经写完了，接下来就是考虑优化的问题了。感觉优化时有点贪心的思想。
举个栗子~
就拿本题的样例吧~

  3  1  2  1  8  6  6

根据我们在“一”中的思想，dp[i]表示 (balabala)(忘记了的回去看一下~)
其实很容易能够知道，开始的时候，长度为1的上升子序列有两个：{3} ， {1} 如果一个数能接到3的后面，也就能接到1的后面~对，就是这样！那么既然这样的话，第一个子序列就没有存在的意义啦（好残忍）。 因为接到1的后面更优。
简单总结就是，对于每一组相同长度的上升子序列，我们可以只记录a[i]最小的那一组，保证最优解和高效性。

同样的，我们存储一下不同长度下最小的结尾值，我们会发现结尾值和长度是正相关的。基于此性质，可以用单调队列来优化此dp。

假如数组f现在存了数，当到了数组a的第i个位置时，首先判断a[i] > f[cnt] ？ 若是大于则直接将这个数添加到数组f中，即f[++cnt] = a[i];这个操作时显然的。
当a[i] <= f[cnt] 的时,我们就用a[i]去替代数组f中的第一个大于等于a[i]的数，因为在整个过程中我们维护的数组f 是一个递增的数组，所以我们可以用二分查找在 logn 的时间复杂的的情况下直接找到对应的位置，然后替换，即f[l] = a[i]。

好了代码如下

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+7;
int q[maxn],a[maxn],n,cnt;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
inline int find(int x){
    int l=1,r=cnt;
    while(l<r){
        int mid=l+r>>1;
        if(q[mid]>=x) r=mid;
        else l=mid+1;
    }
    return l;
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++) a[i]=read();
    q[++cnt]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(a[i]>q[cnt]) q[++cnt]=a[i];
        else{
            int temp=find(a[i]);
            q[temp]=a[i];
        }
    }
    printf("%d
",cnt);
    return 0;
}

三.题目

欢迎来玩~
[传送门]

1017. 怪盗基德的滑翔翼 - AcWing题库
思路： 当确定完起点后，就转化成了在两个方向上分别求解LIS问题；
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=110;
int a[maxn],dp[maxn];
int main(){
    int t;cin>>t;
    while(t--){
        int n;cin>>n;
        for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
        memset(dp,0,sizeof dp);
        int res=-1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            dp[i]=1;
            for(int j=1;j<i;j++)
                if(a[j]<a[i]) 
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            res=max(res,dp[i]);
        }
        for(int i=n;i>=1;i--){
            dp[i]=1;
            for(int j=n;j>i;j--)
                if(a[j]<a[i])
                    dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
            res=max(res,dp[i]);
        }
         cout<<res<<endl;   
    }
    return 0;
}

1014. 登山 - AcWing题库
思路：
本题有三个要求：1.每次所浏览景点的编号都要大于前一个浏览景点的编号。
2.不连续浏览海拔相同的两个景点
3.一旦开始下山，就不再向上走了
分析这三个要求：可以得出最后得到的子序列是先上升再下降的，那么我们可以根据峰值来进行计算。记左边的以a[k]结尾的最长上升子序列长度 max = l [ k ] , 右边的以a[k] 开始的最长下降子序列长度 max = r [ k ] , 那么可得到

dp[k]=l[k]+r[k]-1; //要除去本身

代码：
一定要记得初始化！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1100;
int a[maxn],l[maxn],r[maxn];
int main(){
    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        l[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[j]<a[i])
                l[i]=max(l[i],l[j]+1);
    }
        
    for(int i=n;i>=1;i--){
        r[i]=1;
        for(int j=n;j>i;j--)
            if(a[j]<a[i])
                r[i]=max(r[i],r[j]+1);
    }
        
    int res=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,l[i]+r[i]-1);
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

482. 合唱队形 - AcWing题库
思路： 跟上题思路相同，只需最后输出总数减去最大值即可
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1100;
int a[maxn],l[maxn],r[maxn];
int main(){
    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    for(int i=1;i<=n;i++){
        l[i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[j]<a[i])
                l[i]=max(l[i],l[j]+1);
    }
        
    for(int i=n;i>=1;i--){
        r[i]=1;
        for(int j=n;j>i;j--)
            if(a[j]<a[i])
                r[i]=max(r[i],r[j]+1);
    }
        
    int res=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++) res=max(res,l[i]+r[i]-1);
    cout<<n-res<<endl;
    return 0;
}

1012. 友好城市 - AcWing题库
思路： 我们把北岸排好序之后会有a[i1].n<a[i2].n,(i1<i2)a[i1].n<a[i2].n,(i1<i2)；假如对于i1,i2i1,i2,它们的南岸坐标 a[i1].s<a[i2].sa[i1].s<a[i2].s ，那么就会有交叉，而所有城市的友好城市不相同，所以我们应该建造一个严格上升的子序列。（摘自大佬博客）
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5100;
struct node{
    int x,y;
}a[maxn];
int dp[maxn],n;
bool cmp(node a,node b){
    return a.x<b.x;
}
int main(){
    cin>>n;
    for(int i=0;i<n;i++) cin>>a[i].x>>a[i].y;
    sort(a,a+n,cmp);
    int res=-1;
    for(int i=0;i<n;i++){
        dp[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++)
            if(a[i].y>a[j].y)
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        res=max(res,dp[i]);
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

1016. 最大上升子序列和 - AcWing题库
思路： 跟LIS类似的，只不过初始化要变为a[i]，转移方程为

dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a[i]);

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1100;
int a[maxn],dp[maxn];
int main(){
    int n;cin>>n;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    int res=-1;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        dp[i]=a[i];
        for(int j=1;j<i;j++)
            if(a[j]<a[i])
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+a[i]);
        res=max(res,dp[i]);
    }
    cout<<res<<endl;
    return 0;
}

待补：
1010. 拦截导弹 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+7;
int n,h[maxn],dp[maxn],q[maxn];
int main(){
    int x;
    while(cin>>h[n]) n++;
    int res=0,cnt=0;
    for(int i=0;i<n;i++){
        dp[i]=1;
        for(int j=0;j<i;j++)
            if(h[i]<=h[j])
                dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
        res=max(res,dp[i]);
    }
    cout<<res<<" ";
/**贪心：从前往后扫描每个数，对于每个数
情况一：如果现有的子序列的结尾都小于当前数 则创建新的子序列
情况二：将当前数放到结尾大于等于他的最小子序列后
**/
    for(int i=0;i<n;i++){
        int k=0;
        while(k<cnt&&q[k]<h[i]) k++;
        q[k]=h[i];
        if(k>=cnt) cnt++;
    }
    cout<<cnt<<endl;
    return 0;
}

187. 导弹防御系统 - AcWing题库
272. 最长公共上升子序列 - AcWing题库

#include<bits/stdc++.h>
#define Cutele main
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int maxn=1100;
char a[maxn],b[maxn];
int dp[maxn][maxn],n,m;
int Cutele(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    scanf("%s%s",a+1,b+1);
    for(int i=1;i<=n;i++)
        for(int j=1;j<=m;j++){
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            if(a[i]==b[j]) dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-1]+1);
        }
    printf("%d
",dp[n][m]);
    return 0;
}

参考博客：AcWing 896. 最长上升子序列 II - AcWing
AcWing 1012. 友好城市 - AcWing