多项式的各类计算(多项式的逆/开根/对数/exp/带余除法/多点求值)

• 预备知识：FFT/NTT

• 多项式的逆

  给定一个多项式 $F(x)$，请求出一个多项式 $G(x)$，满足 $F(x)*G(x) equiv 1(mod x^n)$。
  系数对 $998244353$ 取模，$1≤n≤10^5$

  首先将多项式的长度拓展至$2$的次幂，然后我们要求的是
  $G(x)*F(x) equiv 1 (mod x^n)$假设已经求出了
  $H(x)*F(x) equiv 1 (mod x^{⌈frac n2⌉})$又因为有
  $G(x)*F(x) equiv 1 (mod x^{⌈frac n2⌉})$两式相减有
  $(G(x)-H(x))*F(x) equiv 0 (mod x^{⌈frac n2⌉})$$G(x)-H(x) equiv 0 (mod x^{⌈frac n2⌉})$因为左边得到的多项式前${⌈frac n2⌉}$项都是$0$，平方前$n$项都是$0$，所以有
  $(G(x)-H(x))^2 equiv 0 (mod x^{n})$$G^2(x)-2G(x)H(x)+H^2(x)equiv 0 (mod x^n)$两边同时乘以$F(x)$
  $G(x)-2H(x)+H^2(x)F(x)equiv 0 (mod x^n)$$G(x)equiv2H(x)-H^2(x)F(x) (mod x^n)$
  我们就得到了递推式，时间复杂度如下$T(n)=T(n/2)+O(nlog_2n)=O(nlog_2n)$

• 多项式开根

  给定一个 $n−1$ 次多项式 $F(x)$，求一个在 $mod x^n$ 意义下的多项式 $G(x)$，使得 $G^2(x) equiv F(x) (mod x^n)$（多项式的系数在 $mod 998244353$ 的意义下进行运算，$1≤n≤10^5$）
  同样假设求出了$H^2(x)equiv F(x) (mod x^{⌈frac n2⌉})$且有
  $G^2(x)equiv F(x) (mod x^{⌈frac n2⌉})$所以
  $G(x)-H(x) equiv 0 (mod x^{⌈frac n2⌉})$$(G(x)-H(x))^2 equiv 0 (mod x^{n})$$G^2(x)-2G(x)H(x)+H^2(x)equiv 0 (mod x^n)$$F(x)-2G(x)H(x)+H^2(x)equiv 0 (mod x^n)$
  所以$2G(x)equiv frac{F(x)}{H(x)}+H(x) (mod x^n)$
  此处除法转化为乘上多项式的逆，就能递推了，时间复杂度也是$O(nlog_2n)$

• 多项式求自然对数

  给出 $n−1$ 次多项式 $F(x)$，求一个 $mod x^n$ 下的多项式 $G(x)$，满足 $G(x) equiv ln F(x) (mod x^n)$.
  多项式的系数在 $mod 998244353$ 的意义下进行运算，$1≤n≤10^5$
  $egin{aligned} G(x)&=ln F(x)\ &=int frac{F'(x)}{F(x)}dx\ &=int F'(x)F^{-1}(x)dx end{aligned}$所以$G=int F'F^{-1}$，直接多项式求逆+多项式求导积分就行了
  求逆复杂度$O(nlog_2n)$，求导积分复杂度$O(n)$，总时间复杂度仍是$O(nlog_2n)$

• 多项式exp

  多项式exp是用牛顿迭代做的,我也不会证明牛顿迭代,只会背公式.
  本来牛顿迭代公式是这个样子的$x_{n+1}=x_n-frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
  对于多项式的牛顿迭代长这样$u_{n+1}=u_n-frac{f(u,v)}{f_u(u,v)}$

  • 其中$f(u,v)$表示已知多项式为$v$,未知多项式为$u$的多项式方程,就拿exp为例,原方程为$uequiv e^v (mod x^n)$两边取对数为$egin{aligned}ln uequiv v (mod x^n)\ln u-vequiv 0 (mod x^n)end{aligned}$那么$f(u,v)=ln u-v$.
  • $f_u(u,v)$表示的是$f(u,v)$对$u$取导.注意是对$u$,不是对多项式里的$x$.
    举个栗子,$ln v$对$v$求导是$frac 1v$,但是对$x$求导是$frac{v'}{v}$(此处$v'$是对$x$求导)

  那么我们就可以推推柿子$egin{aligned}u_{n+1}&equiv u_n-left(frac{ln u_n-v}{(ln u_n-v)'} ight) &(mod x^n)\&equiv u_n-left(frac{ln u_n-v}{frac1{u_n}} ight) &(mod x^n)\&equiv u_n-(ln u_n-v)u_n &(mod x^n)\&equiv u_n(1-ln u_n+v) &(mod x^n)end{aligned}$然后就套用前面的模板迭代做了

  $TIP:$其实多项式开根也可以用这个方法推出来,有兴趣可以去试试看.

代码

#include <cmath>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
namespace READ {
	inline void read(int &num) {
		char ch; int flg=1;
		while((ch=getchar())<'0'||ch>'9')if(ch=='-')flg=-flg;
		for(num=0;ch>='0'&&ch<='9';num=num*10+ch-'0',ch=getchar());
		num*=flg;
	}
}
using namespace READ;
const int mod = 998244353, G = 3, inv2 = 499122177;
const int MAXN = 1<<18; // 注意MAXN要大于2*n
int rev[MAXN], Wn[MAXN+1][2], inv[MAXN+1];
inline void reset(int len) { for(int i = 0; i < len; ++i) rev[i] = (rev[i>>1]>>1)|((i&1)?(len>>1):0); }
inline int qmul(int a, int b) {
	int res = 1;
	while(b) {
		if(b&1) res = 1ll * res * a % mod;
		a = 1ll * a * a % mod; b>>=1;
	}
	return res;
}
inline int add(int x, int y) { return x+y>mod ? x+y-mod : x+y; }
namespace Poly { 
	int A[MAXN],B[MAXN],C[MAXN],D[MAXN],E[MAXN],F[MAXN],GG[MAXN],H[MAXN];//每个不同函数开不同的临时数组,否则可能重复使用
	inline void clear(int *b, int n) { for(int i = 0; i < n; ++i) b[i] = 0; } //多清零
	inline void NTT(int *arr, int n, int flg) {
		int wn, w, A0, wA1, i, j, k;
		for(i = 0; i < n; ++i) if(i < rev[i]) swap(arr[i], arr[rev[i]]);
		for(i = 2; i <= n; i<<=1) {
			wn = Wn[i][(~flg)?0:1];
			for(j = 0, w = 1; j < n; j += i, w = 1)
				for(k = j; k < j + i/2; ++k, w = 1ll * w * wn % mod) {
					A0 = arr[k], wA1 = 1ll * w * arr[k + i/2] % mod;
					arr[k] = add(A0, wA1);
					arr[k + i/2] = add(A0, -wA1+mod);
				}
		}
		if(!(~flg)) for(i = 0; i < n; ++i) arr[i] = 1ll * arr[i] * inv[n] % mod;
	}
	
	inline void INV(int *a, int *b, int n) {
		clear(b, n<<1), b[0] = qmul(a[0], mod-2);
		clear(A, n<<1), clear(B, n<<1);
		int len, lim;
		for(len = 2; len < (n<<1); len<<=1) {
			lim = len<<1;
			for(int i = 0; i < len; ++i) A[i] = a[i], B[i] = b[i];
			reset(lim); NTT(A, lim, 1); NTT(B, lim, 1);
			for(int i = 0; i < lim; ++i) b[i] = ((2ll - 1ll * A[i] * B[i] % mod) * B[i] % mod + mod) % mod;
			NTT(b, lim, -1);
			for(int i = len; i < lim; ++i) b[i] = 0;
			}
		for(int i = 0; i < len; ++i) A[i] = B[i] = 0;
		for(int i = n; i < len; ++i) b[i] = 0;
	}
	
	inline void SQRT(int *a, int *b, int n) {
        clear(b, n<<1); b[0] = int(sqrt(a[0])+0.5);
        int len, lim, *A = GG, *B = H;
        clear(A, n<<1), clear(B, n<<1);
        for(len = 2; len < (n<<1); len<<=1) {
            lim = len<<1;
            for(int i = 0; i < len; ++i) A[i] = a[i];
            INV(b, B, len);
            reset(lim); NTT(A, lim, 1); NTT(B, lim, 1);
            for(int i = 0; i < lim; ++i) A[i] = 1ll * A[i] * B[i] % mod;
            NTT(A, lim, -1);
            for(int i = 0; i < len; ++i) b[i] = 1ll * (b[i] + A[i]) % mod * inv2 % mod;
            for(int i = len; i < lim; ++i) b[i] = 0;
        }
        for(int i = 0; i < len; ++i) A[i] = B[i] = 0;
        for(int i = n; i < len; ++i) b[i] = 0;
    }

	inline void INT(int *a, int *b, int n) {
		clear(b, n<<1);
		for(int i = n-1; i; --i)
			b[i] = 1ll * a[i-1] * qmul(i, mod-2) % mod;
		b[0] = 0;
	}
	
	inline void DIF(int *a, int *b, int n) {
		clear(b, n<<1);
		for(int i = 1; i < n; ++i)
			b[i-1] = 1ll * a[i] * i % mod;
		b[n-1] = 0;
	}
	
	inline void LN(int *a, int *b, int n) {
		int *A = E, *B = F, len = 1;
		clear(A, n<<1), clear(B, n<<1);
		INV(a, A, n); DIF(a, B, n);
		while(len < (n<<1)) len<<=1;
		reset(len); NTT(A, len, 1); NTT(B, len, 1);
		for(int i = 0; i < len; ++i) A[i] = 1ll * A[i] * B[i] % mod;
		NTT(A, len, -1); INT(A, b, n);
	}
	
	inline void EXP(int *a, int *b, int n) {
		clear(b, n<<1), b[0] = 1;
		int len, lim, *A = C, *B = D;
		clear(A, n<<1), clear(B, n<<1);
		for(len = 2; len < (n<<1); len<<=1) {
			lim = len<<1;
			LN(b, A, len);
			for(int i = 0; i < len; ++i) A[i] = ((i==0)-A[i]+a[i]+mod) % mod, B[i] = b[i];
			for(int i = len; i < lim; ++i) A[i] = B[i] = 0;
			reset(lim); NTT(A, lim, 1); NTT(B, lim, 1);
			for(int i = 0; i < lim; ++i) A[i] = 1ll * A[i] * B[i] % mod;
			NTT(A, lim, -1);
			for(int i = 0; i < len; ++i) b[i] = A[i];
		}
		for(int i = n; i < len; ++i) b[i] = 0;
	}
}
using namespace Poly;
inline void Pre() { //预处理原根及逆元
	for(int i = 1; i <= MAXN; i<<=1)
		Wn[i][0] = qmul(G, (mod-1)/i),
		Wn[i][1] = qmul(G, (mod-1)-(mod-1)/i),
		inv[i] = qmul(i, mod-2);
}
int main () {
	Pre();
}

$Upd:$现在看,发现我以前sb了…不用开不同的数组来取地址,直接static定义就行了…

• 带余除法（待更…）

• 多项式多点求值（待更…）