（基于Java）算法之动态规划——矩阵连乘问题

动态规划（Dynamic Programming）：与分治法类似，其基本思想也是将待求解问题分解成若干个子问题，先求解子问题，然后从这些子问题的解得到原问题的解。与分治法不同的是，适用于动态规划法求解的问题，经分解得到的子问题往往不是互相独立的。

　　使用动态规划法求解的问题需要符合一些条件：

（1）：所求解问题必须要符合最优子结构；（最优子结构即：原问题的最优解中包含了子问题的最优解）

（2）：原问题分解出来的子问题相互之间存在联系，即递归时会重复解决之前已解决过的子问题。

 

　　先说明一些前提：

（1）：矩阵相乘的条件是：前一个矩阵的行数=后一个矩阵的列数；

（2）：可以用数组p[0:n]来存放n个连乘矩阵的行数和列数（p[i-1]表示Ai的行数，p[i]表示Ai的列数）；

（3）：用A[i:j]表示Ai连乘到Aj，假设最优的加括号方式（最外层）是：（Ai*……*Ak）(Ak+1*……*Aj) 。

 

下面我们先从动态规划解决矩阵连乘问题的最初始的方法入手，代码如下：

private static int recurMatrixChain(int i,int j,int[] p)   //最初始的矩阵连乘问题算法
{
    if(i == j) return 0;  //i == j，即只有一个矩阵，计算次数当然为零
    int min = recurMatrixChain(i,i,p) + recurMatrixChain(i+1,j,p) + p[i-1] * p[i] * p[j];
    for(int k = i + 1; k < j; k++){
        int t = recurMatrixChain(i,k,p) + recurMatrixChain(k+1,j,p) + p[i-1] * p[k] * p[j];
        if(t < min) min = t; //从k处断开，如果t比min更小，则说明存在更优的解决方法，把t赋值给min
    }
    return min;
}

　　递归掌握得好的话，结合注释，理解起来并不会觉得困难。但这个方法存在一个严重的弊端，虽然能计算出最优解，但是在计算过程中，其实调用了指数级别次的方法，而这么多次调用其实都在解决重复子问题而已。

 

　　下面介绍一种能解决上边提到的问题，动态规划解决矩阵连乘问题的第二种方法——备忘录方法，代码如下：

private static int lookupChain(int i,int j,int[][] m,int[] p)
{
    if(m[i][j] > 0) return m[i][j]; //如果m[i][j]非零，则说明该子问题被计算过，只需取出这个数，无需进行计算
    if(i == j) return 0;
    int min = lookupChain(i,i,m,p) + lookupChain(i+1,j,m,p) + p[i-1] * p[i] * p[j];
    for(int k = i + 1; k < j; k++){
        int t = lookupChain(i,k,m,p) + lookupChain(k+1,j,m,p) + p[i-1] * p[k] * p[j];
        if(t < min) min = t;
    }
    m[i][j] = min; //对于未记录的子问题，通过计算把该子问题的最优解求出后，存放在数组中
    return min;
}
    
private static int memoizedMatrixChain(int n,int[][] m,int[] p)   //这个就是解决矩阵连乘问题的备忘录方法
{
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        for(int j = 1; j <= n; j++)
            m[i][j] = 0;     //对数组进行初始化
    return lookupChain(1,n,m,p);
}

　　我们可以看出，lookupChain方法跟recurMatrixChain方法其实差不多，只是加插了两行代码而已，而这就是两种算法之间的不同之处，就是最重要的地方。第一次调用时跟第一种方法一样，同时记录了子问题的最优解，当第二次调用时，便可以直接从备忘录中提取子问题的最优解，大大地减少了方法的调用次数。

　　下面介绍另一种动态规划方法——填表法，我的老师将其称为真·动态规划，代码如下：

private static void matrixChain(int n,int[][] m,int[] p){    //填表法，我的老师也叫这方法为真·动态规划方法
    for(int i = n-1; i >= 1; i--)
        for(int j = i+1; j <= n; j++){
            int min = m[i][j] + m[i+1][j] + p[i-1] * p[i] * p[j];
            for(int k = i+1; k < j; k++){
                int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[k] * p[j];
                if(t < min) min = t;
            }
            m[i][j] = min;
        }
}

　　我们会发现，该算法其实跟第一种方法几乎相同，但是这个算法是直接用数组来存放子问题的最优解，跟备忘录方法稍有不同，而且这个算法并没有使用递归。而且这个填表法其实需要个人有比较强的能力，我们可以先举个简单点的例子，然后自己画一个二维数组，分析第一个数是填入到哪里，第二个数是填入到哪里，如此重复，找出规律后就可以开始编写自己的填表法了，在这里的是自下而上的填表法。

　　到这里结束了，如果有不对的地方或者对这个算法有更好的建议，欢迎指出！