洛谷 4238 【模板】多项式求逆

题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P4238

方法：https://www.cnblogs.com/TimelyRain/p/10010233.html

　　　https://www.cnblogs.com/xiefengze1/p/9107752.html

感觉下面那个博客的转化方法更简单？

设 ( B^{'}(x) ) 为 ( A(x) ) 在模 ( x^{leftlceil n/2 ight ceil} ) 意义下的逆元，( B(x) ) 为 ( A(x) ) 在模 ( x^{n} ) 意义下的逆元。

　　( A(x)*B^{'}(x) equiv 1 (mod  x^{leftlceil n/2 ight ceil}) )

　　( A(x)*B^{'}(x) - 1 equiv 0 (mod  x^{leftlceil n/2 ight ceil}) )

　　( A^{2}(x)*B^{'2}(x) - 2*A(x)*B^{'}(x) + 1 equiv 0 (mod  x^{n}) )

　　( 2*A(x)*B^{'}(x) - A^{2}(x)*B^{'2}(x) - 1 equiv 0 (mod  x^{n}) )

又有( A(x)*B(x) equiv 1 (mod  x^{n}) )

　　( A(x)*B(x) - 1 equiv 0 (mod  x^{n}) )

则　( A(x)*B(x) equiv 2*A(x)*B^{'}(x) - A^{2}(x)*B^{'2}(x) (mod  x^{n}) )

　　( B(x) equiv 2*B^{'}(x) - A(x)*B^{'2}(x) (mod  x^{n}) )

那个地方之所以可以两边平方，是因为卷积的时候新出来的 n/2 项的每一项的求和式子里相乘的两项总有至少一项的次数是 <= ( leftlceil n/2 ight ceil )的；这样的项因为模 ( x^{leftlceil n/2 ight ceil} )是0，所以系数是0，所以平方后整个式子还同余于0。

也就是说不是 ( leftlceil n/2 ight ceil )，其他的也行，只要能满足平方后还是0。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=1e5+5,M=N<<2,mod=998244353;
int a[M],b[M],tp[M],len,r[M];
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9') ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
void upd(int &x){x>=mod?x-=mod:0;}
int pw(int x,int k)
{int ret=1;while(k){if(k&1)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=1;}return ret;}
void ntt(int *a,bool fx)
{
  for(int i=0;i<len;i++)
    if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
  for(int R=2;R<=len;R<<=1)
    {
      int Wn=pw(3,(mod-1)/R);
      fx?Wn=pw(Wn,mod-2):0;///
      for(int i=0,m=R>>1;i<len;i+=R)//+=R...
    for(int j=0,w=1;j<m;j++,w=(ll)w*Wn%mod)
      {
        int x=a[i+j],y=(ll)w*a[i+m+j]%mod;
        a[i+j]=x+y; a[i+m+j]=x+mod-y;
        upd(a[i+j]); upd(a[i+m+j]);
      }
    }
  if(!fx)return; int inv=pw(len,mod-2);///
  for(int i=0;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
void solve(int n)
{
  if(n==1){b[0]=pw(a[0],mod-2);return;}
  solve(n+1>>1);
  for(len=1;len<=n<<1;len<<=1); //n<<1 not n+1<<1//has no influence
  for(int i=0;i<len;i++)r[i]=(r[i>>1]>>1)+((i&1)?len>>1:0);
  for(int i=0;i<n;i++)tp[i]=a[i]; /////not a[i]
  for(int i=n;i<len;i++)tp[i]=0;

  ntt(tp,0); ntt(b,0);
  for(int i=0;i<len;i++)
    b[i]=((b[i]<<1)-(ll)tp[i]*b[i]%mod*b[i])%mod+mod,upd(b[i]);
  ntt(b,1);
  for(int i=n;i<len;i++)b[i]=0;
}
int main()
{
  int n;n=rdn();for(int i=0;i<n;i++)a[i]=rdn();
  solve(n);
  for(int i=0;i<n;i++)printf("%d ",b[i]);puts("");
  return 0;
}

UPD(2019.4.5)：非递归版如下

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define ll long long
#define pb push_back
#define vi vector<int>
using namespace std;
int rdn()
{
  int ret=0;bool fx=1;char ch=getchar();
  while(ch>'9'||ch<'0'){if(ch=='-')fx=0;ch=getchar();}
  while(ch>='0'&&ch<='9')ret=ret*10+ch-'0',ch=getchar();
  return fx?ret:-ret;
}
const int N=(1<<18)+5,mod=998244353;
int upt(int x){while(x>=mod)x-=mod;while(x<0)x+=mod;return x;}
int pw(int x,int k)
{int ret=1;while(k){if(k&1)ret=(ll)ret*x%mod;x=(ll)x*x%mod;k>>=1;}return ret;}

int len,r[N],f[N],a[N],b[N];
void ntt(int *a,bool fx)
{
  for(int i=0;i<len;i++)
    if(i<r[i])swap(a[i],a[r[i]]);
  for(int R=2;R<=len;R<<=1)
    for(int i=0,m=R>>1;i<len;i+=R)
      {
    int wn=pw(3,fx?(mod-1)-(mod-1)/R:(mod-1)/R);
    for(int j=0,w=1;j<m;j++,w=(ll)w*wn%mod)
      {
        int x=a[i+j], y=(ll)w*a[i+m+j]%mod;///w not wn!!!
        a[i+j]=upt(x+y); a[i+m+j]=upt(x-y);
      }
      }
  if(!fx)return; int inv=pw(len,mod-2);
  for(int i=0;i<len;i++)a[i]=(ll)a[i]*inv%mod;
}
void inv(int n)
{
  for(len=1;len<n<<1;len<<=1);//mx is %len
  b[0]=pw(f[0],mod-2);
  for(int yt=1,t=2;yt<n;yt=t,t=len)//%yt->%t
    {
      len=t<<1;
      for(int i=0,j=len>>1;i<len;i++)
    r[i]=(r[i>>1]>>1)+((i&1)?j:0);
      for(int i=0;i<t;i++)a[i]=f[i];//<t not <yt
      ntt(a,0); ntt(b,0);
      for(int i=0;i<len;i++)
    b[i]=upt((ll)b[i]*(2-(ll)a[i]*b[i]%mod)%mod);
      ntt(b,1);
      for(int i=t;i<len;i++)b[i]=0;
      for(int i=t;i<len;i++)a[i]=0;
    }
  for(int i=0;i<n;i++)f[i]=b[i];
}
int main()
{
  int n=rdn()-1;
  for(int i=0;i<=n;i++)f[i]=rdn();
  inv(n+1);
  for(int i=0;i<=n;i++)printf("%d ",f[i]);puts("");
  return 0;
}