[HDU 3506]Monkey Party

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长度为 (n) 的环状石子合并。

(1leq nleq 1000)

Solution

假设有区间 DP 的转移方程是 (f_{l,r}=min(max){f_{l,k}+f_{k+1,r}+w(l,r)})，如果 (w) 满足四边形不等式以及区间单调性，那么这个式子是可以利用某些单调性优化到 (O(n^2)) 的。

• 四边形不等式，还是以 (forall a,b,c,d, aleq bleq cleq d, w(a,d)+w(b,c)geq w(a,c)+w(b,d)) 为例。
• 区间单调性，即 (forall a,b,c,d, aleq bleq cleq d, w(a,d)geq w(b,c))，即小区间的函数值不超过包含其的大区间。并且式中的不等号应时刻与四边形不等式的不等号方向一致。

对于不等号的方向和取 (min) 还是取 (max) 之间的关系，这里要说明的是当上述不等号取 (geq) 时，对应的 DP 方程是要取 (min) 的，并且单调性与枚举顺序相同。

先不加证明地引出两个引理。（不证明是考虑到引理证出来意义不大，并且没有必要。如果你感兴趣可以参考《动态规划加速原理之四边形不等式(赵爽)》这篇文章）

引理一 对于 DP 方程，(f_{l,r}=min{f_{l,k}+f_{k+1,r}+w(l,r)})，若 (w) 满足四边形不等式和区间单调性，那么 DP 函数 (f) 同样满足四边形不等式。

引理二 设 (s_{l,r}) 是 (f_{l,r}) 的最优决策点。如果 (f) 满足四边形不等式，那么会有 (s_{i,j}leq s_{i,j+1}leq s_{i+1,j+1})。

四边形不等式定理 若利用引理二的单调性，即 (s_{i,j-1}leq s_{i,j}leq s_{i+1,j})，来优化该区间 DP，其复杂度是可以降低至 (O(n^2)) 的。

证明：从区间 DP 的本质入手，我们考虑当区间长度为 (delta) 时枚举的量。对于每个左端点：
(l=1)，((l,l+delta-1)) 枚举长度是 (s_{l+1,l+delta-1}-s_{l,l+delta-2}=s_{2,delta}-s_{1,delta-1})；
(l=2)，枚举长度是 (s_{3,1+delta}-s_{2,delta})；
(l=3)，枚举长度是 (s_{4,2+delta}-s_{3,1+delta})；
(vdots)
(l=n+1-delta)，枚举长度是 (s_{n+2-delta,n}-s_{n+1-delta,n-1})。
把上式相加，总长度是 (s_{n+2-delta,n}-s_{1,delta-1}leq n)。又由于总共有 (n) 个不同的 (delta)，因此总复杂度为 (O(n^2))。

更多内容可见四边形不等式定理优化。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define w(l, r) (a[r]-a[l-1])
using namespace std;
const int N = 2005;

int n, a[N], s[N][N];
ll f[N][N];

int main() {
    while (~scanf("%d", &n)) {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            scanf("%d", &a[i]), a[i+n] = a[i];
        n <<= 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) a[i] += a[i-1];
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            f[i][i] = 0, s[i][i] = i;
        for (int i = 2, m = n>>1; i <= m; i++)
            for (int l = 1, r; (r = l+i-1) <= n; l++) {
                f[l][r] = 1e15;
                for (int k = s[l][r-1]; k <= s[l+1][r]; k++)
                    if (k < r && f[l][r] > f[l][k]+f[k+1][r]+w(l, r)) {
                        f[l][r] = f[l][k]+f[k+1][r]+w(l, r);
                        s[l][r] = k;
                    }
            }
        ll ans = 1e15;
        for (int i = 1, m = n>>1; i <= m; i++)
            ans = min(ans, f[i][i+m-1]);
        printf("%lld
", ans);
    }
    return 0;
}