费马小定理
当 p 为质数时，有
[egin{aligned}
a^p&equiv apmod{p}\a^{p-1}&equiv1pmod{p}\gcd(a,p)&=1
end{aligned}
]
我们考虑证明 (a^pequiv apmod{p}) , 我们将 (a^p) 当做由 a 种元素组成的长度为 p 的排列的个数，如当 a=2,p=2 时，我们假设 2 种元素为a,b,则组成的排列有 (aa,bb,ab,ba) , 然后我们将 (ab,ba) 这种形式的集合称作一个 (cycle) ,如 (aab,aba,baa) 这三个排列组成一个 (cycle) ,(cycle)也可理解成一个排列，这个排列的元素依次放在一个圆，将这个圆进行旋转而得到的所有排列的集合。
例子：当 a=2 ,元素分别为 a,b,p=3 时, cycle 分别为（一个 ({}) 里的所有元素表示一个 cycle )
[{aaa}\{aab,baa,aba}\{abb,bab,bba}\{bbb}
]
不然发现，当长度大小，即 p 时一个 (cycle) 要么有1个元素，要么有p个元素,而当一个 (cycle) 元素个数为1时，这个 $ cycle $ 的集合的元素为像 (aaa) 这类，因此一个(cycle)个数为1的数量只有a个，而其它 cycle 的元素个数有 p 个，所以
[egin{aligned}
a^p-a&equiv0pmod{p}\a^{p-1}&equiv1pmod{p}
end{aligned}
]