3675: [Apio2014]序列分割
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Description
小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：
1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；
2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。
每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。
Input
输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。
第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。
Output
输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。
Sample Input
7 3
4 1 3 4 0 2 3
4 1 3 4 0 2 3
Sample Output
108
HINT
【样例说明】
在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：
1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置
将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。
2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数
字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+
3)=36分。
3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个
数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=
20分。
经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。
【数据规模与评分】
：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。
经观察发现，当分割点确定后，分割的顺序对结果没有影响。
就比如a,b,c割两次
bc + a(b + c) = ab + ac + bc
ab + c(a + b) = ab + ac + bc
所以我们可以设f[k][i]表示第k次割第i个位置的最大价值
有f[k][i] = max{f[k - 1][j] + (s[j + 1] - s[i + 1]) * s[i + 1]};【s[i]为后缀和】
划为斜截式就是 -s[i + 1] * s[j + 1] + f[k][i] = f[k - 1][j]
使截距最大，维护凸包
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define eps 1e-9
#define LL long long int
#define REP(i,n) for (int i = 1; i <= (n); i++)
#define fo(i,x,y) for (int i = (x); i <= (y); i++)
#define Redge(u) for (int k = head[u]; k != -1; k = edge[k].next)
using namespace std;
const int maxn = 100005,maxm = 105,INF = 1000000000;
inline int read(){
int out = 0,flag = 1;char c = getchar();
while (c < 48 || c > 57) {if (c == '-') flag = -1; c = getchar();}
while (c >= 48 && c <= 57) {out = out * 10 + c - 48; c = getchar();}
return out * flag;
}
LL n = 0,N,K,A[maxn],B[maxn],s[maxn],f[2][maxn],q[maxn],head,tail,p = 1,now = 0;
inline double slope(int u,int v){
return (double)(f[p][u] - f[p][v]) / (s[u + 1] - s[v + 1]);
}
int main()
{
//freopen("in.txt","r",stdin);
//freopen("out1.txt","w",stdout);
N = read(); K = read();
REP(i,N) A[i] = read();
REP(i,N) if (A[i]) B[++n] = A[i];
for (int i = n; i > 0; i--) s[i] = s[i + 1] + B[i];
for (int k = 1; k <= K; k++,p ^= 1,now ^= 1){
q[head = tail = 0] = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++){
while (head < tail && slope(q[head],q[head + 1]) < -s[i + 1] + eps) head++;
int j = q[head];
//cout<<j<<' ';
f[now][i] = f[p][j] + (s[j + 1] - s[i + 1]) * s[i + 1];
while (head < tail && slope(q[tail],q[tail - 1]) > slope(i,q[tail]) + eps) tail--;
q[++tail] = i;
}
//REP(i,n) cout<<f[now][i]<<' ';cout<<endl;
}
LL ans = 0;
REP(i,n) ans = max(ans,f[p][i]);
cout<<ans<<endl;
return 0;
}