选课

选课（树形dp）

在大学里每个学生，为了达到一定的学分，必须从很多课程里选择一些课程来学习，在课程里有些课程必须在某些课程之前学习，如高等数学总是在其它课程之前学习。现在有N门功课，每门课有个学分，每门课有一门或没有直接先修课（若课程a是课程b的先修课即只有学完了课程a，才能学习课程b）。一个学生要从这些课程里选择M门课程学习，问他能获得的最大学分是多少？1<=N<=300,1<=M<=300。

神奇的树形dp题。(f[x][i][j])表示第x个几点，处理到前i个子树，容量为j。若x的孩子为y，那么状态转移方程是(f[x][i][j]=max(f[x][i-1][j], f[x][i-1][k]+f[y][all][j-k]))。起始条件是(f[x][0][1]=v[x])。由于后续状态必须由起始条件推出，所以是满足题意的。为了把i处理掉，考虑倒推dp，然后可以用(f[x][j]=max(f[x][j], f[x][k]+f[y][j-k]))的状态转移方程。时间复杂度(O(nm^2))。

#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn=305, maxm=305;

class Graph{
public:
    struct Edge{
        int to, next; Graph *bel;
        Edge& operator ++(){
            return *this=bel->edge[next]; }
        inline int operator *(){ return to; }
    };
    void addedge(int x, int y){
        Edge &e=edge[++cntedge];
        e.to=y; e.next=fir[x]; e.bel=this;
        fir[x]=y;
    }
    Edge& getlink(int x){ return edge[fir[x]]; }
private:
    int cntedge, fir[maxn];
    Edge edge[maxn*2];
};

Graph g;
int n, m, v[maxn], f[maxn][maxm];

void dfs(int now){
    Graph::Edge e=g.getlink(now);
    f[now][1]=v[now];
    for (; *e; ++e){
        dfs(*e);
        for (int j=m; j>=2; --j)
            for (int k=1; k<j; ++k)
                f[now][j]=max(f[now][j], f[now][k]+f[*e][j-k]);
        //dp限制了必须选自己再选子树。
    }
}

int main(){
    scanf("%d%d", &n, &m); int x, y;
    for (int i=1; i<=n; ++i){
        scanf("%d%d", &x, &y);
        g.addedge(x, i); v[i]=y;
    }
    ++m; dfs(0); int ans=0;
    printf("%d
", f[0][m]);
    //没有必要对所有取max，因为根据贪心，f[0][m]一定是最优的
    return 0;
}