约瑟夫问题

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(mathcal{Description})

经典的约瑟夫问题
一开始有 (n) 个人围成一个圈,他们的编号从(0)到(n-1), 从 (1) 开始顺时针报数, 报出 (m) 的人被机关处决.
然后下一个人再从 (1) 开始报数, 直到只剩下一个人.
问最后剩下的人的编号.

(nleq 10^{18}, mleq 1000)

(mathcal{Solution})

那些算法书总是把约瑟夫问题作为链表的例题来讲，初学者接触链表时还不会递推，于是一直以为只是一道链表题...

这么大的数据，当然不能链表模拟
考虑递推，还是那句话，递推的东西总是有联系的
递推时往往假设一个状态是已知的，然后试图推另一个状态，如果有递推式的话，我们就只要将最简单的状态手动求出即可
假设现在有(n)个人，第一个被处决的人的编号肯定是(k=(m-1)\%n)
当编号为(k)的人被处决后，接下来我们认为是从原编号为(k+1)的人开始重新编号，然后就是一个(n-1)个人的约瑟夫问题了
当然，这(n-1)个人的答案肯定不是最终答案，因为他是重新编号后的答案，所以我们要将其恢复原编号
因为新编号为(0)的人前面有(m-1)个人，也就是编号左移了(m)，所以最终的答案应该要加上(m)
设(f[n])为长度为(n)的最后剩下的人的编号
则有(f[n]=(f[n-1]+m)\%n)

于是我们得到了一个(O(n))的做法
但这还不够
我们继续看这个方程，发现(n)的答案可以被(h)共用
只需要满足(f[n]+(h-n)m < n)
也就是每次可以直接更新之后的(k=frac{n-f[n]}{m})个长度的答案
于是就将复杂度大大降低了

(mathcal{Code})

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年09月01日 星期日 15时54分02秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,ans,now;
int main()
{
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	ans=0,now=1;
	while (now<n){
		ll inc=min((now-ans)/m,n-now);
		if (!inc)	inc=1;
		now=now+inc;
		ans=(ans+inc*m)%now;
	}
	printf("%lld
",ans+1);
	return 0;
}

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