BZOJ4305 数列的GCD

也许更好的阅读体验

(mathcal{Description})

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(mathcal{Solution})

这里就不用(N,M)，还是(n,m)写的习惯些
直接计算一个方案是十分不方便的
所以考虑容斥
设(gleft(d ight))表示(d | gcd)的方案数
设(a)中有(cnt)个数是(d)的倍数
那么有
(gleft( d ight) =left( dfrac {m}{d} ight) ^{n-cnt}egin{pmatrix} cnt \ n-k end{pmatrix}left( dfrac {m}{d}-1 ight) ^{k-left(n-cnt ight)})

(left( dfrac {m}{d} ight) ^{n-cnt})表示有(n-cnt)个数是必须修改的，每个有(frac{m}{d})种数选择

那么还剩(k-left(n-cnt ight))个数必须要修改，我们可将其写为(cnt-(n-k))，这样就是等价于要选(n-k)个数出来

(egin{pmatrix} cnt \ n-k end{pmatrix}left( dfrac {m}{d}-1 ight) ^{k-left(n-cnt ight)})表示将这(cnt)个数修改(k-(n-cnt))个数，每个数因为自己本身是(d)的一个倍数，所以只有(frac{m}{d})种选择

设(fleft(d ight))表示(gcd=d)的方案数

然后可以考虑莫比乌斯反演
显然有
(egin{aligned}gleft( n ight) =sum _{n | d}fleft( d ight)end{aligned})
则根据莫比乌斯反演，有
(egin{aligned}fleft( n ight) =sum _{n | d}mu left( dfrac {d}{n} ight) gleft( d ight)end{aligned})

当然，莫比乌斯反演什么的是不可能莫比乌斯反演的
直接容斥就可以啦
(egin{aligned}fleft(n ight)=gleft(n ight)-sum_{n|d}f(d)end{aligned})
从大到小枚举(d)，直接计算即可

(mathcal{Code})

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年08月23日 星期五 08时14分25秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 300005;
const int mod = 1000000007;
//{{{cin
struct IO{
	template<typename T>
	IO & operator>>(T&res){
		res=0;
		bool flag=false;
		char ch;
		while((ch=getchar())>'9'||ch<'0')	 flag|=ch=='-';
		while(ch>='0'&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^'0'),ch=getchar();
		if (flag)	 res=~res+1;
		return *this;
	}
}cin;
//}}}
int n,m,k;
int a[maxn],num[maxn];
ll fac[maxn],inv[maxn],f[maxn];
//{{{ksm
int ksm (int a,int b)
{
	a%=mod;
	int s=1;
	for (;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
		if (b&1)	s=1ll*s*a%mod;
	return s;
}
//}}}
inline ll C (int n,int m)
{
	return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
int main()
{
	cin>>n>>m>>k;
	fac[0]=fac[1]=inv[0]=inv[1]=1;
	for (int i=1;i<=n;++i)	cin>>a[i],++num[a[i]];
	for (int i=2;i<=n;++i)	fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
	for (int i=2;i<=n;++i)	inv[i]=(-mod/i*inv[mod%i]%mod+mod)%mod;
	for (int i=2;i<=n;++i)	inv[i]=1ll*inv[i]*inv[i-1]%mod;
	for (int i=m;i>=1;--i){
		int cnt=0;
		for (int j=i;j<=m;j+=i)	cnt+=num[j];
		if (cnt-n+k<0)	f[i]=0;
		else	f[i]=C(cnt,n-k)*ksm(m/i-1,cnt-n+k)%mod*ksm(m/i,n-cnt)%mod;
		for (int j=i<<1;j<=m;j+=i)	f[i]=1ll*(f[i]-f[j]+mod)%mod;
	}
	for (int i=1;i<=m;++i)	printf("%lld ",f[i]);
	return 0;
}

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