泰勒(Taylor)公式
(egin{aligned}fleft( x
ight) =sum ^{infty }_{i=0}dfrac {f^{(i)}left( x_{0}
ight) }{i!}left( x-x_{0}
ight) ^{i}end{aligned})
其中(f^{(i)})表示将(f)进行(i)阶求导
该公式表示将(f)在(x_0)处展开，(x_0)任取
(e^x)的泰勒展开
(egin{aligned}e^x=sum ^{infty }_{i=0}dfrac{x^i}{i!}end{aligned})
令(f(x)=e^x)，把其在(0)处展开
则有(egin{aligned}fleft( x
ight) =sum ^{infty }_{i=0}dfrac {f^{(i)}left( 0
ight) }{i!}left( x-0
ight) ^{i}=sum ^{infty }_{i=0}dfrac{x^i}{i!}end{aligned})
牛顿迭代
(fequiv f_{0}-dfrac {gleft( f_{0} ight) }{g'left( f_{0} ight) }left( mod x^{2n} ight))
有一个关于多项式 (f) 的方程(g(f)=0)，其中(f) 是一个未知的形式幂级数。
假如我们已知 (f) 的前 (n) 项 (f_0) 则有
(fequiv f_{0}left( mod x^{n}
ight))
(egin{aligned}0=gleft( f
ight) &=gleft( f_{0}
ight) +g'left( f_{0}
ight)(f-f_0)+dfrac{g''(f_0)}{2}(f-f_0)^2+cdots\
&equiv g(f_0)+g'(f_0)(f-f_0) ( mod x^{2n})
end{aligned})
解释：
第一行为套泰勒公式且不写(sum)
第二行，我们知道(f-f_0equiv 0( mod x^n))，则有((f-f_0)^2equiv 0( mod x^{2n}))，所以从第三项起都同余(0)
继续写完
两边同时除以(g'(f_0))，再移项，可得
(fequiv f_{0}-dfrac {gleft( f_{0}
ight) }{g'left( f_{0}
ight) }left( mod x^{2n}
ight))
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