>>搞懂树状数组：http://blog.csdn.net/int64ago/article/details/7429868
据说可以用树状数组的解决的问题都可以用线段树解决，所以下面的题都是可以用线段树解决的。
一维树状数组应用：
我用到的模版表示：
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1 #define MAXN 32005 2 3 int sum[MAXN]; 4 5 int lowbit(int x) 6 { 7 return x&(-x); 8 } 9 10 void update(int x,int val)////如果要把a[i]增加v，可以通过调用如下函数实现 11 { 12 while(x <= MAXN) 13 { 14 sum[x] += val; 15 x += lowbit(x);//x+lowbit(x)可以理解变成了x的父亲 16 } 17 } 18 19 int query(int x)//前x项和 20 { 21 int s=0; 22 while(x>0) 23 { 24 s += sum[x]; 25 x -= lowbit(x);//x-lowbit(x)可以理解成变成了x的兄弟 26 } 27 return s; 28 }
1，区间求和
题意：一个“*”的层次是这样定义的，处于该“*”的下面和左面的范围内的“*”的个数即为该“*”的层次。题目要求处于0到n-1层次的“*”数目各有几个。
分析：由于“*”的坐标已经按Y递增的顺序排列好，对于具有相同Y坐标的“*”，又按其X坐标排序，故可充分利用这一输入特点，直接运用树状数组进行求解。
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1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 using namespace std; 5 6 #define MAXN 32005 7 8 int sum[MAXN],ans[MAXN]; 9 10 int lowbit(int x) 11 { 12 return x&(-x); 13 } 14 15 void update(int x,int val) 16 { 17 while(x <= MAXN) 18 { 19 sum[x] += val; 20 x += lowbit(x); 21 } 22 } 23 24 int query(int x)//前x项和 25 { 26 int s=0; 27 while(x>0) 28 { 29 s += sum[x]; 30 x -= lowbit(x); 31 } 32 return s; 33 } 34 35 int main() 36 { 37 int n; 38 while(scanf("%d",&n) != EOF) 39 { 40 int x,y; 41 memset(sum,0,sizeof(sum)); 42 memset(ans,0,sizeof(ans)); 43 for(int i=0;i<n;i++) 44 { 45 scanf("%d%d",&x,&y); 46 ans[query(x+1)]++;//x+1避免死循环,每次插入前查询小于x的和， 47 update(x+1,1); 48 } 49 for(int i=0;i<n;i++) 50 printf("%d\n",ans[i]); 51 } 52 return 0; 53 }
2，查找第K小或大（第k大可以转化成num-k+1小元素）元素：
题意：有一群猫，现在给它们编号，然后组队，0 1 2 代表 1 号和 2 号的队伍合并。 1 4 询问第 4 大的队伍 Size 是多大。
分析：并查集处理集合，动态更新第K值用树状数组，具体的看注释
时间复杂度是：log(n)^2
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1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 4 using namespace std; 5 6 #define MAXN 300000 7 8 int rank[MAXN],sum[MAXN],fa[MAXN];//rank表示集合的大小，初始为1 9 10 int lowbit(int x) 11 { 12 return x&(-x); 13 } 14 15 void update(int x,int d) 16 { 17 while(x<=MAXN) 18 { 19 sum[x]+=d;//d=1或-1 20 x+=lowbit(x); 21 } 22 } 23 24 int query(int x) 25 { 26 int s=0; 27 while(x>0) 28 { 29 s+=sum[x]; 30 x-=lowbit(x); 31 } 32 return s; 33 } 34 35 int find(int x) 36 { 37 if(x!=fa[x]) 38 fa[x]=find(fa[x]); 39 return fa[x]; 40 } 41 42 int main() 43 { 44 int i,n,m,q,x,y,k,l,r; 45 scanf("%d%d",&n,&m); 46 for(int i=1;i<=n;i++) 47 { 48 fa[i]=i; 49 rank[i]=1; 50 } 51 update(1,n);//初始状态值为1的有n个，（用线段树的思想理解就是第1-r这个区间都有1个值） 52 int num=n; 53 54 for(i=1;i<=m;i++) 55 { 56 scanf("%d",&q); 57 if(q==0) 58 { 59 scanf("%d%d",&x,&y); 60 x=find(x); 61 y=find(y); 62 if(x==y) continue; 63 update(rank[x],-1);//即将集合大小为rank[x]的总数减1，在树状数组上表示为和-1 64 update(rank[y],-1); 65 update(rank[x]+rank[y],1); 66 fa[y]=x; 67 rank[x]+=rank[y]; 68 num--; 69 } 70 else 71 { 72 scanf("%d",&k); 73 k=num-k+1;//转换成求k小 74 l=1; 75 r=n; 76 while( l <= r)//二分逼近求k小，跟线段树类似 77 { 78 int m=(l+r)>>1; 79 if(query(m) >= k) 80 r=m-1;//query(m)是前m的和，大于k表明在前1-m这段有大于k个值存在，即k应小于m 81 else 82 l=m+1; 83 } 84 printf("%d\n",l); 85 } 86 } 87 return 0; 88 }
另外贴一个时间复杂度是log(n)的写法，看这里
View Code1 #include<stdio.h> 2 #include<string.h> 3 #define maxn 300000 4 int a[maxn],c[maxn],p[maxn];//值为i的数有i个 5 int find(int x){return x==p[x] ? x : p[x]=find(p[x]);} 6 int lowbit(int x){ 7 return x&-x; 8 } 9 void update(int x,int d){ 10 for(;x<=maxn;x+=lowbit(x)) 11 c[x]+=d; 12 }//因为是从左往右手动求和了，所以也不需要sum()操作了 13 int find_kth(int k)//太神奇了(大概是以前没有完全领会)，log(n)复杂度 14 { 15 int ans = 0, cnt = 0, i; 16 for (i = 20; i >= 0; i--)//利用二进制的思想，把答案用一个二进制数来表示 17 { 18 ans += (1 << i); 19 if (ans >= maxn|| cnt + c[ans] >= k) 20 //这里大于等于k的原因是可能大小为ans的数不在c[ans]的控制范围之内，所以这里求的是 < k 21 ans -= (1 << i); 22 else 23 cnt += c[ans];//cnt用来累加比当前ans小的总组数 24 }//求出的ans是累加和（即小于等于ans的数的个数）小于k的情况下ans的最大值，所以ans+1就是第k大的数 25 return ans + 1; 26 } 27 /* 28 因为要求第k小的数，所以要从左往右加过去， 29 上述过程其实就是把树状数组的求和操作逆向，从左往右求和， 30 边求和边判断控制范围内比当前值要小的数是否超过或等于k,如果是则跳回兄弟节点(ans-=(1<<i)) 31 如8+4=12，假如12不满足要求，则重新变回8，下一次就加2,8+2=10，即跳到10控制的位置 32 上述累加过程不会重复计算，因为 33 比如15=8+4+2+1，数字依次为8 12 14 15，每次累加后的值都与前面的值无关，i小于其二进制末尾0的个数 34 即c[8] 、c[12] 、c[14]、 c[15]相加的话不会重复计算，再如11=8+2+1;数字依次为8 10 11，c[8],c[10],c[11] 35 各自控制着自己的范围，不会重复累加，所以就可以用cnt来累加前面的结果，最后cnt+c[ans]就表示了值<=ans的个数 36 简言之：上述的各个数字两两间控制的范围不会相交 37 */ 38 int main() 39 { 40 int i,n,m,q,x,y,k,l,r; 41 scanf("%d%d",&n,&m); 42 for(i=1;i<=n;i++) p[i]=i; 43 for(i=1;i<=n;i++) a[i]=1; 44 update(1,n);//初始状态值为1的数有n个 45 int num=n; 46 for(i=1;i<=m;i++) 47 { 48 scanf("%d",&q); 49 if(q==0) 50 { 51 scanf("%d%d",&x,&y); 52 x=find(x); 53 y=find(y); 54 if(x==y) continue; 55 update(a[x],-1); 56 update(a[y],-1); 57 update(a[x]+a[y],1); 58 p[y]=x; 59 a[x]+=a[y]; 60 num--;//合并集合 61 } 62 else 63 { 64 scanf("%d",&k); 65 k=num-k+1;//转换为找第k小的数 66 printf("%d\n",find_kth(k)); 67 } 68 } 69 return 0; 70 }
PS:其他方法查询第K小元素看这里
3，求逆序数
首先使用query(x)查询比x小的数出现了几个，然后update(x,1)把x更新进去。
比如
4 3 1 2
i=0 : query(4)==0(说明比4小的数还未出现),那么当前ans+= i-query(4);
update(4,1);
i=1 : query(3)==0, ans+=i-query(3)->ans=1;
update(3,1);
。。。。
i-query()可以这样理解：本来第i个数出现时，假如没有逆序数，则query(x)应该返回i即前面的数都在x前面，但是只返回query(x)，故还有i-query(x)个数大于x且出现的早于x.即产生的逆序数对。
题意：有两排城市，这两排之间有一些城市之间有连接的道路，给出所有道路，问有多少道路是相交的。
分析：求逆序数。我们先把所有的道路按照a升序，a相同时b升序的方法排列。这样从头至尾便利，对于每条道路，我们只需要知道它之前有多少道路的b大于等于它的b就可以了，所以我们只要知道前面有多少b小于它的再用下标减去就可以了。而这个求有多少小于的过程就用树状数组来实现。我们每看到一条边，就把它的b作为下标，把树状数组对应位进行修改。这样一来，树状数组所有下标小于该道路的b的数的总和就是我们要求的b小于该道路的道路数。(自己画个图便于理解)
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1 #include <iostream> 2 #include <cstdio> 3 #include <cstring> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 7 #define MAXN 2005 8 int N,M,K; 9 long long ans; 10 struct ci 11 { 12 int e,w; 13 bool operator <(const ci & a) const 14 { 15 if(e==a.e) 16 return w<a.w; 17 return e<a.e; 18 } 19 }line[MAXN * MAXN]; 20 int sum[MAXN]; 21 int lowbit(int x) 22 { 23 return x&(-x); 24 } 25 26 void update(int x,int val) 27 { 28 while(x <= MAXN) 29 { 30 sum[x] += val; 31 x += lowbit(x); 32 } 33 } 34 35 long long query(int x) 36 { 37 long long s=0; 38 while(x>0) 39 { 40 s += sum[x]; 41 x -= lowbit(x); 42 } 43 return s; 44 } 45 46 int main() 47 { 48 int t; 49 int set=1; 50 scanf("%d",&t); 51 while(t--) 52 { 53 ans=0; 54 memset(sum,0,sizeof(sum)); 55 scanf("%d%d%d",&N,&M,&K); 56 for(int i=0;i<K;i++) 57 scanf("%d%d",&line[i].e,&line[i].w); 58 sort(line,line+K); 59 for(int i=0;i<K;i++) 60 { 61 ans+=i-query(line[i].w); 62 update(line[i].w,1); 63 } 64 printf("Test case %d: %I64d\n",set++,ans); 65 } 66 return 0; 67 }
PS:求逆序数还有归并排序，当然线段树也行。
二维树状数组：
+++还没看的...