DP——最长上升子序列（n^2与n log n）

作为NOIP中的知名的问题，最长不下降子序列可谓是灰常重要……

废话不多说，正题：
最长不下降有两种方法，然而都是DP……

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裸DP，时间复杂度O（n^2）：

    定义：dp[ i ]=以a[ i ]为结尾的最长上升子序列的长度，so，dp[ i ]=max(1,dp[ j ]+1 | j < i且a[ j ] < a[ i ] )；

    代码：

int n;
int a[10000];
int dp[10000];

void solve(){
  int res=0;
  for(int i=1;i<=n;i++){
    dp[i]=1;
    for(int j=1;j<i;j++)  if( a[ j ]<a[ i ] ){
      dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1);
    }
    res=max(res,dp[i]);
  } 
  cout<<res<<endl;
}

但…………此代码是我从书上抄的，因为…………我也不会…………我也不想学………………因为我会O（n log n）的……orz；

下面介绍O（n log n）的：

dp[1]=a[1];

从2————n for循环 

我们定义dp[i]为长度为i的最长上升子序列的最后一个数的最小值，由此可推得dp是不下降的，每当我们发现了一个数比dp[len]大，就len++,dp[len]=这个数，否则，在dp中寻找一个dp[j-1]<这个数<dp[j] ，使dp[j]=min(dp[j],这个数)，以此来维护正确性。又因dp是不下降的因此可以用二分求j。

代码：

int dp[1000]
void solve(){
  fill(dp+1,dp+n+1,INF);
  for(int i=1;i<=n;i++){
    *lower_bound(dp+1,dp+1+n,a[i])=a[i];
  }
  printf("%d",lower_bound(dp+1,dp+1+n,INF)-dp);
}

好吧，以上这个也是我抄的，但貌似不太靠谱，下一个是我的，反正比上面的靠谱点儿……

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cmath>
using namespace std;
int d[2000000],a[2000000],n,len,l,r,mid;
 
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    d[1]=a[1];
    len=1;
    for (int i=2;i<=n;i++){
        if(a[i]>d[len]){
            len++;
            d[len]=a[i];
        }else{
            l=1;r=len-1;
            while(l<=r){
                mid=(l+r)/2;
                if(d[mid]>=a[i]) r=mid-1;
                else l=mid+1;
            }
            d[l]=min(a[i],d[l]);
        }
    }
    printf("%d",len);
    return 0;
}

 上面的也不靠谱……

d[1]=a[1]; 
int len=1;
for (int i=2;i<=n;i++){
      if (a[i]>d[len]) d[++len]=a[i]; 
      else{
             int j=upper_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d;
             d[j]=a[i]; 
       }
}