[学习笔记]阶和原根

阶&&原根性质：

http://www.cnblogs.com/cytus/p/9296661.html

我们不管阶。

对于一个数m，若对于所有的i,$1<=i<=phi_m$

整数a满足$a^i modspace m$的值是小于m和m互质的$phi(m)$个数的排列，那么，a是m的一个原根

一般要求最小的正原根g

求法：

暴力枚举g

性质：

g是原根的充要条件：

对于任意的i,$1<=i<phi_m$

若$g^i eq 1 space mod space m$都成立

那么，g是m的一个原根

证明：

必要性：显然

假如不成立。那么，会和$a^i=1 space mod space phi(m)$相同

充分性：

反证。

在条件成立下，假如存在一个j，k，使得

$a^j=c space mod space m$和$a^k=c space mod space m$相同

那么，必然有$a^{(i-j)}=1 space mod space m$

矛盾。

证毕。

然后优化求法的看这篇：https://blog.csdn.net/zhouyuheng2003/article/details/80163139

（这个博客挂了）

找原根，从2开始枚举

暴力验证1<=i<=phi是否有g^i=1

比较优化的是，枚举phi的所有约数（不包括phi自己），没有得1的是充分必要条件（必要性：显然。充分性：考虑一个p，使得g^p=1，由于g^phi=1，所以g^(phi-p)=1，进而，g^(gcd(phi,p)=1，而phi的所有约数k都不满足g^k=1 ，所以矛盾。）

最优化的话，phi=p1^q1*p2^q2*p3^q3...*pk^qk,枚举质因子t=pi,如g^(phi/t)都不为1的话，g是原根。

对于最优求法的证明补充：

必要性：显然。和上面我写的证明一样。

充分性：如果g满足条件却不是原根，那么，存在一个不属于那个验证集合的k满足，$k|phi(m) $且$ g^k=1 space mod space m$

（若不存在$k|phi(m)$满足$ g^k=1 space mod space m$，那么就意味着，对于所有的$phi(m)$的约数d，都满足$g^d=1 space mod space m$那么，根据第一个优化算法的证明，g一定是原根了）

那么，显然有，$g^{tk}=1 space mod space m$

那么，必然会有一个验证集合的数x，使得$x=g^{tk}$，会矛盾。

证毕。

模板题：

https://www.51nod.com/Challenge/Problem.html#!#problemId=1135

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=1e5+5;
int p;
ll qm(int x,int y,int mod){
    ll ret=1;
    while(y){
        if(y&1) ret=(ll)ret*x%mod;
        y>>=1;
        x=(ll)x*x%mod;
    }
    return ret;
}
int fac[N],tot;
void divi(int x){
    for(reg i=2;(ll)i*i<=x;++i){
        if(x%i==0){
            fac[++tot]=i;
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&p);
    divi(p-1);
    int ans=2;
    while(1){
        bool fl=true;
        for(reg i=1;i<=tot;++i){
            ll tmp=qm(ans,(p-1)/fac[i],p);
            if(tmp==1) {
                fl=false;break;
            }
        }
        if(fl) break;
        ++ans;
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

}
int main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/11/20 14:36:16
*/

应用：

当m是质数的时候，g^i可以遍历j（属于1~m-1）

我们可以用i代替j

 

那么，如果要计算j*k，j、k的原根是x、y。

那么可以计算成x+y。再计算g^(x+y)

有的时候可以降低复杂度。