[学习笔记]可持久化数据结构——数组、并查集、平衡树、Trie树

可持久化：支持查询历史版本和在历史版本上修改

可持久化数组

主席树做即可。

【模板】可持久化数组（可持久化线段树/平衡树）

可持久化并查集

可持久化并查集

主席树做即可。

要按秩合并。（路径压缩每次建logn条链，会卡爆空间MLE）

主席树节点，维护father（是一个真实下标），维护dep（集合的最大深度），

一个关键函数是query，找到代表实际位置为pos的节点的编号

对于一个版本，

合并：先找到这个两个位置的集合的根节点。

不在同一个集合里的话，就合并。

合并的时候，新建一条链，并且更新father，dep还是原来节点的dep

如果和连向的father的dep相同的话，那就把father的点的dep++，象征这个新连上的集合深度是最深深度。

（++deep的时候，可以不建立新节点。因为只是影响一些按秩合并效率，但是基本没有影响）

（upda：2019.3.5 不会影响的。因为是对新节点的deep++，和之前版本没有任何关系）

查询：直接查询即可。

 

【模板】可持久化并查集

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=1e5+5;
struct node{
    int ls,rs;
    int fa,dep;
}t[N*40];
int tot;
int n,m;
int las;
int rt[2*N];
void build(int &x,int l,int r){
    x=++tot;
    if(l==r) {
        t[x].fa=l,t[x].dep=1;
        return ;
    }
    build(t[x].ls,l,mid);
    build(t[x].rs,mid+1,r);
}
int query(int x,int l,int r,int to){
    if(l==r) return x;
    if(to<=mid) return query(t[x].ls,l,mid,to);
    else return query(t[x].rs,mid+1,r,to);
}
void merge(int &x,int y,int l,int r,int to,int ff){
    x=++tot;
    t[x].ls=t[y].ls;t[x].rs=t[y].rs;
    if(l==r) {
        t[x].fa=ff,t[x].dep=t[y].dep;return;
    }
    if(to<=mid) merge(t[x].ls,t[y].ls,l,mid,to,ff);
    else merge(t[x].rs,t[y].rs,mid+1,r,to,ff);
}
int find(int o,int to){
//    cout<<" o "<<o<<" to "<<to<<endl;
    int now=query(rt[o],1,n,to);
    if(t[now].fa==to) return now;
    return find(o,t[now].fa);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    build(rt[0],1,n);
//    cout<<" tot tot tot "<<tot<<endl;
//        for(reg i=1;i<=tot;++i){
//            cout<<i<<" : "<<t[i].fa<<" "<<t[i].dep<<endl;
//        }
    int op,k,x,y;las=0;
    int o=0;
    while(m--){
        rd(op);
        if(op==1){
            ++o;
            rt[o]=rt[las];
            rd(x);rd(y);
            x=find(las,x);
            y=find(las,y);
            if(t[x].fa!=t[y].fa){
                if(t[x].dep>t[y].dep) swap(x,y);
                merge(rt[o],rt[las],1,n,t[x].fa,t[y].fa);
                if(t[x].dep==t[y].dep) {
                //    cout<<" dep equal "<<t[y].fa<<endl;
                    int lp=query(rt[o],1,n,t[y].fa);
                //    cout<<" lplplp "<<lp<<endl;
                    t[lp].dep++;
                }
            }
            las=o;
        }else if(op==2){
            ++o;
            rd(k);
            rt[o]=rt[k];
            las=k;
        }else{
            ++o;
            //cout<<" las "<<las<<endl;
            rt[o]=rt[las];
            rd(x);rd(y);
            //cout<<" x "<<" y "<<x<<" "<<y<<endl;
            x=find(las,x);
            y=find(las,y);
            //cout<<" xx "<<" yy "<<x<<" "<<y<<endl;
            if(t[x].fa==t[y].fa){
                puts("1");
            }else puts("0");
            las=o;
        }
//        cout<<" tot tot tot "<<tot<<endl;
//        for(reg i=1;i<=tot;++i){
//            cout<<i<<" : "<<t[i].fa<<" "<<t[i].dep<<endl;
//        }
    }
    return 0;
}

}
int main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/11/23 7:48:57
*/

不能在历史版本上更改的可持久化并查集。（也就是，历史版本形成的树是一条链）

 （可持久化并茶几O(logn)： （NOI2018D1T1） 每个点记录每时每刻在哪个集合里 用vector记录pair 合并的时候，启发式合并，然后暴力修改 最多O(n)个集合，每个集合记录点权最大值 查询的时候 二分找到这个时间段 查询集合点权最大值即可 ）

可以做到：空间O(nlogn)时间O(nlogn)

%%ImmortalCO

可持久化平衡树：

1.还是主席树做即可。

权值暴力开到-1e9~1e9（我脑残了一下，还加了偏移量。。。）因为动态开点。。空间限制1GB

然后做就好了。

注意前驱后继的写法；

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define mid (((ll)l+r)>>1)
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=5e5+5;
const int U=2e9+1;
const int P=1e9+1;
const int inf=2147483647;
int n;
struct node{
    int ls,rs,sz;
}t[40*N];
int rt[N];
int tot;
void pushup(int x){
    t[x].sz=t[t[x].ls].sz+t[t[x].rs].sz;
}
void ins(int &x,int y,int l,int r,int to){
    //
    x=++tot;
    t[x].ls=t[y].ls,t[x].rs=t[y].rs;
    t[x].sz=t[y].sz+1;
    if(l==r) return;
    if(to<=mid) ins(t[x].ls,t[y].ls,l,mid,to);
    else ins(t[x].rs,t[y].rs,mid+1,r,to);
}
void dele(int &x,int y,int l,int r,int to){
//    cout<<" deleting "<<to<<endl;
    x=++tot;
    t[x].ls=t[y].ls,t[x].rs=t[y].rs;
    t[x].sz=t[y].sz;
    if(l==r){
        if(t[x].sz>=1) t[x].sz--;
        return;
    }
    if(to<=mid) dele(t[x].ls,t[y].ls,l,mid,to);
    else dele(t[x].rs,t[y].rs,mid+1,r,to);
    pushup(x);
}
int rk(int x,int l,int r,int c){
    if(l==r){
        return (l<c)*t[x].sz;
    }
    if(c<=mid) return rk(t[x].ls,l,mid,c);
    else return t[t[x].ls].sz+rk(t[x].rs,mid+1,r,c);
}
int kth(int x,int l,int r,int k){
    //cout<<l<<" "<<r<<" "<<mid<<" kkk "<<k<<" "<<t[x].sz<<endl;
    if(l==r)return l;
    int d=k-t[t[x].ls].sz;
    if(d<=0) return kth(t[x].ls,l,mid,k);
    else return kth(t[x].rs,mid+1,r,d);
}
int pre(int x,int l,int r,int c){
    if(l>=c||t[x].sz==0) return -inf;
    else if(l==r) return l;
    else{
        int ret=pre(t[x].rs,mid+1,r,c);
        if(ret!=-inf) return ret;
        return pre(t[x].ls,l,mid,c);
    }
}
int bac(int x,int l,int r,int c){
    //cout<<l<<" "<<r<<" "<<" : "<<t[x].sz<<endl;
    if(r<=c||t[x].sz==0) return inf;
    else if(l==r) return l;
    else{
        int ret=bac(t[x].ls,l,mid,c);
        if(ret!=inf) return ret;
        return bac(t[x].rs,mid+1,r,c);
    }
}
int main(){
    scanf("%d",&n);
    int st,op,x;
    int o=0;
    while(n--){
        rd(st),rd(op);rd(x);
        x+=P;
        ++o;
        rt[o]=rt[st];
        switch(op){
            case 1:ins(rt[o],rt[st],1,U,x);break;
            case 2:dele(rt[o],rt[st],1,U,x);break;
            case 3:printf("%d
",rk(rt[o],1,U,x)+1);break;
            case 4:{
                int tmp=kth(rt[o],1,U,x-P);
                //cout<<" tmp "<<tmp<<" "<<tmp-1e9<<" "<<tmp-1e9-1<<endl;
                printf("%d
",tmp-P);
                break;
            }
            case 5:{
                int tmp=pre(rt[o],1,U,x);
                if(tmp>=1&&tmp<=U){
                    printf("%d
",tmp-P);
                }
                else printf("%d
",tmp);//not find
                break;
            }
            case 6:{
                int tmp=bac(rt[o],1,U,x);
                if(tmp>=1&&tmp<=U){
                    printf("%d
",tmp-P);
                }
                else printf("%d
",tmp);//not find
                break;
            }
        }
        //cout<<" num "<<o<<" : "<<" tot "<<tot<<" sz "<<rt[o]<<" "<<t[rt[o]].sz<<endl;
    }
    return 0;
}

}
int main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/11/23 9:19:03
*/

2.fhq-Treap？

留坑

[学习笔记]FHQ-Treap及其可持久化

 例题：bzoj3946: 无聊的游戏

可持久化0/1Trie

其实就类似于主席树。（哪里都是主席树啊。。。）

维护一个序列前缀的信息。

每次加入一个点，在前一个的基础上，加入的是一个log(val)的链。

额外维护一个sz，表示，前i个位置，走到这个位置，往下还有多少个数。（就类似于主席树）

然后，给一个x，如果要找区间最大异或值，直接sz差分，判断有无，然后贪心走即可。

例题：模板：最大异或和

变一下形，就可以当“给一个x，找区间一个值异或，使得值最大”

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=300000+5;
const int U=23;
int n,m;
struct trie{
    int ch[2];
    int sz;
}t[48*N];
int tot;
int s;
int rt[N+N];
void ins(int id,int v){
    rt[id]=++tot;
    int x=rt[id],y=rt[id-1];
    for(reg i=U;i>=0;--i){
        int c=(v>>i)&1;
        t[x].ch[!c]=t[y].ch[!c];
        t[x].ch[c]=++tot;
        x=t[x].ch[c];
        y=t[y].ch[c];
        t[x].sz=t[y].sz+1;
    }
}
int query(int l,int r,int v){
    int y=l-1>=0?rt[l-1]:rt[0],x=rt[r];
    int ret=0;
    for(reg i=U;i>=0;--i){
        int c=(v>>i)&1;
        int d=t[t[x].ch[!c]].sz-t[t[y].ch[!c]].sz;
        if(d){
            ret+=(1<<i);
            x=t[x].ch[!c];y=t[y].ch[!c];
        }
        else{
            x=t[x].ch[c];y=t[y].ch[c];
        }
    }
    //cout<<l<<" "<<r<<" "<<x<<endl;
    if(l==0) ret=max(ret,v);
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int x;
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        rd(x),s^=x,ins(i,s);
    }
    char ch[10];int l,r;
    int now=n;
    while(m--){
        scanf("%s",ch+1);
        //cout<<"ss "<<s<<endl;
        switch(ch[1]){
            case 'A':rd(x);s^=x;ins(++now,s);break;
            case 'Q':{
                rd(l);rd(r);rd(x);
                --l,--r;
                x=s^x;
                printf("%d
",query(l,r,x));
                break;
            }
        }
        //cout<<" mmm "<<m<<endl;
    }
    return 0;
}

}
int main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/11/23 14:22:23
*/

[TJOI2018]异或

维护两个可持久化Trie，一个dfn序，处理子树。一个维护到树根的信息。

子树，dfn序直接查询

路径，拆成x到lca，y到lca分别差分查询。

注意数组大小，根节点还有2*N个空间。。。。。

31*N*2+2*N

#include<bits/stdc++.h>
#define reg register int
#define il inline
#define numb (ch^'0')
using namespace std;
typedef long long ll;
il void rd(int &x){
    char ch;x=0;bool fl=false;
    while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
    for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);
    (fl==true)&&(x=-x);
}
namespace Miracle{
const int N=100000+5;
struct trie{
    int ch[2];
    int sz;
}t[31*N*2+2*N];
int tot;
int df,dfn[N],fdfn[N],dfn2[N];
int fa[N][20];
int dep[N];
int a[N];
int n,m;
struct node{
    int nxt,to;
}e[2*N];
int hd[N],cnt;
void add(int x,int y){
    e[++cnt].nxt=hd[x];
    e[cnt].to=y;
    hd[x]=cnt;
}
int rt1[N];
int lca(int x,int y){
    if(dep[x]<dep[y]) swap(x,y);
    for(reg j=19;j>=0;--j){
        if(dep[fa[x][j]]>=dep[y]) x=fa[x][j];
    }
    if(x==y) return x;
    for(reg j=19;j>=0;--j){
        if(fa[x][j]!=fa[y][j]) x=fa[x][j],y=fa[y][j];
    }
    return fa[x][0];
}
void ins1(int x,int y,int v){
    rt1[x]=++tot;
    x=rt1[x];
    for(reg i=30;i>=0;--i){
        int c=(v>>i)&1;
        t[x].ch[!c]=t[y].ch[!c];
        t[x].ch[c]=++tot;
        x=t[x].ch[c];
        y=t[y].ch[c];
        t[x].sz=t[y].sz+1;
    }
}
void dfs(int x,int d){
    dep[x]=d;
    dfn[x]=++df;fdfn[df]=x;
    ins1(x,rt1[fa[x][0]],a[x]);
    for(reg i=hd[x];i;i=e[i].nxt){
        int y=e[i].to;
        if(y==fa[x][0]) continue;
        fa[y][0]=x;
        dfs(y,d+1);
    }
    dfn2[x]=df;
}
int query1(int y,int x,int v){
    x=rt1[x];y=rt1[y];
    int ret=0;
    for(reg i=30;i>=0;--i){
        int c=(v>>i)&1;
        int d=t[t[x].ch[!c]].sz-t[t[y].ch[!c]].sz;
        if(d){
            ret+=(1<<i);
            x=t[x].ch[!c];y=t[y].ch[!c];
        }
        else {
            x=t[x].ch[c];y=t[y].ch[c];
        }
    }
    return ret;
}
int rt2[N];
void ins2(int x,int v){
    int y=rt2[x-1];
    rt2[x]=++tot;
    x=rt2[x];
    for(reg i=30;i>=0;--i){
        int c=(v>>i)&1;
        t[x].ch[!c]=t[y].ch[!c];
        t[x].ch[c]=++tot;
        x=t[x].ch[c];
        y=t[y].ch[c];
        t[x].sz=t[y].sz+1;
    }
}
int query2(int y,int x,int v){
    x=rt2[x];y=rt2[y];
    int ret=0;
    for(reg i=30;i>=0;--i){
        int c=(v>>i)&1;
        int d=t[t[x].ch[!c]].sz-t[t[y].ch[!c]].sz;
        if(d){
            ret+=(1<<i);
            x=t[x].ch[!c];y=t[y].ch[!c];
        }
        else {
            x=t[x].ch[c];y=t[y].ch[c];
        }
    }
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        rd(a[i]);
    }
    int x,y;
    for(reg i=1;i<=n-1;++i){
        rd(x);rd(y);add(x,y);add(y,x);
    }
    dep[0]=-1;
    dfs(1,1);
    for(reg j=1;j<=19;++j){
        for(reg i=1;i<=n;++i){
            fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1];
        }
    }
    
    for(reg i=1;i<=n;++i){
        ins2(i,a[fdfn[i]]);
    }
    int op;
    int z;
    while(m--){
        scanf("%d",&op);
        if(op==1){
            rd(x);rd(y);
            printf("%d
",query2(dfn[x]-1,dfn2[x],y));
        }
        else{
            rd(x);rd(y);rd(z);
            int anc=lca(x,y);
            printf("%d
",max(query1(fa[anc][0],x,z),query1(fa[anc][0],y,z)));
        }
    }
    return 0;
}

}
int main(){
    Miracle::main();
    return 0;
}

/*
   Author: *Miracle*
   Date: 2018/11/23 16:08:01
*/

可持久化用途

可持久化目的主要就是充分利用不会动的信息，减少时空的浪费

1.历史值查询：模板，以及可持久化trie和主席树的差分

2.路径压缩，任意字符集AC自动机

3.当做标记：bzoj3946: 无聊的游戏