经常和概率期望题相结合。
对于全序集合 (S)，有：
[max S=sumlimits_{Tsubseteq S,T
ot=varnothing}(-1)^{vert Tvert -1}min T
]
[min S=sumlimits_{Tsubseteq S,T
ot=varnothing}(-1)^{vert Tvert -1}max T
]
证明
对于 (xin S)，假设 (x) 是 (S) 中第 (k) 大的元素，则建立映射(f:x ightarrow {1,2,dots,k})。
可以得到对于 (x,yin S)，有：
[f(min (x,y))=f(x)cap f(y)
]
[f(max (x,y))=f(x)cup f(y)
]
因此得到：
[egin{aligned}
vert f(max S)vert&=iggvert igcuplimits_{xin S}f(x)iggvert \
&=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{vert Tvert -1}iggvert igcaplimits_{xin T}f(x)iggvert\
&=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{vert Tvert -1} vert f(min T)vert\
end{aligned}]
将 (vert f(max S)vert) 映射回原式，从而得证。
通俗的说，就是对于除本身集合的其他的集合取最小值时，集合大小为奇数时加上，大小为偶数时减掉，而选奇数个和选偶数个的方案数又是一样的，于是抵消掉了，最后只剩下 (f(maxlimits_{xin S} x))的贡献。
拓展
[max_k S=sumlimits_{Tsubseteq S,vert Tvertgeq k}(-1)^{vert Tvert -k}{vert Tvert-1choose k-1}min T
]
背他就完了
应用
常见的应用：有 (n) 个变量，每个变量出现的概率为 (p)。问每一个变量都出现的期望时间。
根据期望的线性性质，可以得到
[E(max S)=sumlimits_{Tsubseteq S,T
ot=varnothing}(-1)^{vert Tvert -1}E(min T)
]
其中 (E(min T)) 显然就是 (cfrac{1}{sumlimits_{iin T}p_i})。
例题：礼物
夏川的生日就要到了。作为夏川形式上的男朋友，季堂打算给夏川买一些生日礼物。
商店里一共有种礼物。夏川每得到一种礼物，就会获得相应喜悦值 $ W_i$（每种礼物的喜悦值不能重复获得）。
每次，店员会按照一定的概率 (P_i)（或者不拿出礼物），将第i种礼物拿出来。 季堂每次都会将店员拿出来的礼物买下来。没有拿出来视为什么都没有买到，也 算一次购买。
众所周知，白毛切开都是黑的。所以季堂希望最后夏川的喜悦值尽可能地高。
求夏川最后最大的喜悦值是多少，并求出使夏川得到这个喜悦值，季堂的期望购买次数。
显然的 Min-max 容斥模板题。最大的喜悦值就是给出的喜悦值的和，而剩下就是套式子了。用 dfs 枚举子集 (T)，时间效率 (O(2^n)) ，空间效率 (O(n))。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=30;
int n;
long long ans;
double res;
double p[maxn];
void dfs(int now,double sum,int opt){
if(now==n+1){
if(sum>1e-9)res+=1.0*opt/sum;
return;
}
dfs(now+1,sum+p[now],-opt);
dfs(now+1,sum,opt);
}
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
long long u;
scanf("%lf%lld",&p[i],&u);
ans+=u;
}
printf("%lld
",ans);
dfs(1,0,-1);
printf("%.3lf
",res);
return 0;
}