LOJ2721 [NOI2018] 屠龙勇士 【扩展中国剩余定理】

好久没写了，写一篇凑个数。

题目分析：

这题不难想，讲一下中国剩余定理怎么扩展。

考虑$$left{egin{matrix}x equiv apmod{b}\ x equiv cpmod{d}end{matrix} ight.$$

不难发现需要满足$gcd(b,d)|(c-a)$才有解。

结合后的模数一定是$lcm(b,d)$。然后扩展gcd合并就行了。

中间过程会超过$10^18$，需要快速乘。

代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 120000;

int n,m;
long long a[maxn],p[maxn],LP[maxn],d[maxn];

multiset<long long,greater<long long> > s;

long long cut[maxn],minn;
long long st[maxn],f[maxn];

void init(){
    s.clear();memset(st,0,sizeof(st)); memset(f,0,sizeof(f));
    for(int i=1;i<=m;i++) s.insert(d[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    set<long long>::iterator it = s.lower_bound(a[i]);
    if(it == s.end())it--;    cut[i] = (*it);
    s.erase(it); s.insert(LP[i]);
    }
    minn = 0;
    for(int i=1;i<=n;i++) minn = max(minn,(long long)ceil((double)a[i]/cut[i]));
}

long long exgcd(long long alpha,long long beta,long long &x,long long &y){
    if(beta == 0){x = 1; y = 0; return alpha;}
    else{
    long long res = exgcd(beta,alpha%beta,y,x);
    y-=x*(alpha/beta);
    return res;
    }
}

void read(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&p[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&LP[i]);
    for(int i=1;i<=m;i++) scanf("%lld",&d[i]);
}

long long multi(long long alpha,long long beta,long long mod){
    long long dt,bit = 1,ans = 0;
    alpha %= mod; beta %= mod;
    alpha += mod; beta += mod;
    alpha %= mod; beta %= mod;
    dt = alpha;
    while(bit <= beta){
    if(bit & beta){ans += dt; if(ans >= mod) ans -= mod;}
    bit<<=1;dt = (dt+dt); if(dt >= mod) dt -= mod;
    }
    return ans;
}

int cntt = 0;
void work(){
    for(int i=1;i<=n;i++){
    long long hd = exgcd(cut[i],p[i],st[i],f[i]);
    if(a[i] % hd != 0){puts("-1");return;}
    f[i] = p[i]/hd; st[i] %= f[i]; if(st[i] < 0) st[i] += f[i];
    st[i] = multi(st[i],a[i]/hd,f[i]); st[i] %= f[i];
    }
    for(int i=2;i<=n;i++){
    long long im = exgcd(f[i],f[i-1],f[0],f[0]);
    if((st[i]-st[i-1])%im){
        puts("-1");return;
    }
    long long um = f[i]/im*f[i-1];
    long long tf=0; exgcd(f[i-1],f[i],tf,f[0]);
    tf =multi(tf,(st[i]-st[i-1])/im,um);
    tf += (-tf/f[i])*f[i]; tf += f[i];
    tf = (st[i-1]+multi(tf,f[i-1],um))%um;
    if(tf < 0) tf += um;
    f[i] = um; st[i] = tf;
    }
    if(st[n] < minn){
    st[n] += (minn-st[n])/f[n]*f[n];
    }
    printf("%lld
",st[n]);
    //fast multi
}

int main(){
    int Tmp; scanf("%d",&Tmp);
    while(Tmp--){
    cntt++;
    read();
    init();
    work();
    }
    return 0;
}