51Nod1778 小Q的集合 【组合数】【Lucas定理】

题目分析：

题解好高深......

我给一个辣鸡做法算了，题解真的看不懂。

注意到方差恒为$0$，那么其实就是要我们求$sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}(i^k-(n-i)^k)^2$。

转换一下

    $sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}(i^k-(n-i)^k)^2$

$=2sum_{i=0}^{n}inom{n}{i}(i^{2k}-i^k(n-i)^k)$

注意到$i^{2k}$与$i^k(n-i)^k$在模$m$意义下都是一个周期为$m$的数列，那么我们需要求出每隔$m$个的组合数的和，即：

$2sum_{i=0}^{m-1}(sum_{j=0}^{frac{n-i}{m}}inom{n}{i+j*m}(i^{2k}-i^k(n-i)^k))$

把焦点放到内部的求和里面去，它是很简单的一个式子，试着转化它。首先我们可以根据Lucas定理分析出，对于外部的$i$，它的结果中一定有$ inom{n\%m}{i} $。

剩下的是什么？首先有不等式$i+j*m leq n\%m + left lfloor frac{n}{m} ight floor*m$。在这里我们毫无疑问地认为$i leq n\%m$。否则对结果无影响。

我们接受$left lfloor frac{n}{m} ight floor$的所有影响，取满它，取满一排，它是$2$的次幂。

所以这个式子就等于$2sum_{i=0}^{m-1}(inom{n\%m}{i}*2^{left lfloor frac{n}{m} ight floor}(i^{2k}-i^k(n-i)^k))$

$left lfloor frac{n}{m} ight floor$很大，采用费马定理优化。

这样我们就可以解决它在$O(mlogk)$的时间内了。

注意，如果我们会线性求逆元以及线性筛，可以去掉log。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int maxn = 1048576;

int mod,nr,k,np;
char str[maxn];
int str2[maxn];

int c[maxn],rw[maxn];

void read(){
    scanf("%s",str);
    scanf("%d%d",&k,&mod);
    int len = strlen(str);
    for(register int i=0;i<len;i++){ nr = nr*10+str[i]-'0'; nr %= mod; }
    for(register int i=0,num=0;i<len;i++){
    np = np*10+str[i]-'0'; str2[i] = np/mod; np %= mod;
    } np = 0;
    for(register int i=0;i<len;i++){
    np = np*10+str2[i]; np %= (mod-1);
    }
}
 
int fast_pow(int now,int pw){
    int ans = 1,dd = now,base = 1;
    while(base <= pw){
    if(base & pw){ans = (1ll*ans*dd)%mod;}
    dd = (1ll*dd*dd)%mod;
    base<<=1;
    }
    return ans;
}

int prime[maxn/8],flag[maxn],num;
void get_prime(int N){
    rw[1] = 1; flag[1] = 1;
    for(int i=2;i<=N;i++){
    if(!flag[i]){prime[++num]=i;rw[i]=fast_pow(i,k);}
    for(int j=1;j<=num&&i*prime[j]<=N;j++){
        flag[i*prime[j]] = 1;
        rw[i*prime[j]] = (1ll*rw[i]*rw[prime[j]])%mod;
        if(i%prime[j] == 0) break;
    }
    }
}

void init(){
    get_prime(nr);
    np = fast_pow(2,np+1); c[0] = 1;
    for(register int i=1;i<=nr;i++){
    c[i] = (1ll*c[i-1]*(nr-i+1))%mod;
    c[i] = (1ll*c[i]*fast_pow(i,mod-2))%mod;
    }
}

void work(){
    int ans = 0;
    for(register int i=0;i<mod;i++){
    if(i > nr) break;
    int hh = rw[i];
    int pp = ((1ll*hh*hh)%mod) - (1ll*hh*rw[nr-i])%mod;
    if(pp < 0) pp += mod;
    pp = (1ll*pp*c[i])%mod;
    ans += pp; if(ans >= mod) ans -= mod;
    }
    ans += mod; if(ans >= mod) ans -=mod;
    ans = (1ll*np*ans)%mod;
    printf("%d",ans);
}

int main(){
    read();
    init();
    work();
    return 0;
}