POJChallengeRound2 Guideposts 【单位根反演】【快速幂】

题目分析：

这题的目标是求$$ sum_{i in [0,n),k mid i} inom{n}{i}G^i $$

这个形式很像单位根反演。

单位根反演一般用于求：$ sum_{i in [0,n),k mid i} inom{n}{i}f(x)^i $

推理过程略，实际上也就是交换求和符号的事情。

接着就变成裸的矩阵快速幂了

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int m,k,p;long long n;
int l,s,t,gg;

struct mat{int arr[7][7];}G,bs,mmp;
vector<int> fac; // factor of p

void buildbase(int w){
    for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=1;j<=m;j++) bs.arr[i][j] = 1ll*w*G.arr[i][j]%p;
    for(int i=1;i<=m;i++) bs.arr[i][i] ++,bs.arr[i][i] %= p;
}

mat operator*(mat alpha,mat beta){
    memset(mmp.arr,0,sizeof(mmp.arr));
    for(int k=1;k<=m;k++){
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
        mmp.arr[i][j] += 1ll*alpha.arr[i][k]*beta.arr[k][j]%p;
        mmp.arr[i][j] %= p;
        }
    }
    }
    return mmp;
}

mat res;
mat fstpow(mat now,long long pw){
    memset(res.arr,0,sizeof(res.arr));
    for(int i=1;i<=m;i++) res.arr[i][i] = 1;
    long long bit = 1;
    while(bit <= pw){
    if(bit & pw){res = res*bs;}
    bs = bs*bs;bit<<=1;
    }
    return res;
}

void init(){
    memset(G.arr,0,sizeof(G.arr));
    fac.clear();
    l = s = t = gg = 0;
}

void read(){
    scanf("%d%d%d",&l,&s,&t);
    for(int i=1;i<=l;i++){
    int u,v; scanf("%d%d",&u,&v);
    G.arr[u][v]++;
    }
}

int fast_pow(int now,int pw){
    int ans = 1,dt = now,bit = 1;
    while(bit <= pw){
    if(bit & pw){ans = 1ll*ans*dt%p;}
    dt = 1ll*dt*dt%p; bit<<=1;
    }
    return ans;
}

void getgg(){
    int z = p-1;
    for(int i=2;i*i<=z;i++){
    if(z % i == 0){
        fac.push_back(i);
        while(z % i == 0) z /= i;
    }
    }
    if(z != 1) fac.push_back(z);
    for(int i=2;i<=p;i++){
    int flag = true;
    for(int j=0;j<fac.size();j++){
        int z = fast_pow(i,(p-1)/fac[j]);
        if(z == 1){flag = false; break;}
    }
    if(flag){gg = i;break;}
    }
    gg = fast_pow(gg,(p-1)/k);
}

void work(){
    int w = 1,ans = 0;
    for(int i=0;i<k;i++,w = 1ll*w*gg%p){
    buildbase(w);
    bs = fstpow(bs,n);
    ans += bs.arr[s][t]; ans%=p;
    }
    ans = 1ll*ans*fast_pow(k,p-2)%p;
    printf("%d
",ans);
}

int main(){
    while(scanf("%d%lld%d%d",&m,&n,&k,&p) == 4){
    init();
    read();
    getgg();
    work();
    }
    return 0;
}