【NOIP2008提高组T4】双栈排序-二分图染色

测试地址：双栈排序

做法：这题的做法比较难想，本人也是看了题解才懂。我们来研究两个元素num[i]和num[j]不能被存在同一个栈内的充要条件是什么。这个条件是：存在一个k，使得i<j<k而且num[k]<num[i]<num[j]。先来证充分性，即满足该条件则这两个元素一定不能被存在一个栈中。显然，num[k]要比num[i]先输出，然而弹出num[k]后，一定会先弹出num[j]，又因为num[i]<num[j]，所以矛盾。再来证必要性，即不满足该条件则这两个元素一定能被存在一个栈中。两种情况：1.对于所有的i<j<k，如果num[i]<num[j]，有num[i]<num[k]。2.对于所有的i<j，num[i]>num[j]。第二种情况易看出是一个降序序列，肯定能被存在一个栈中。那么对于第一种情况，因为i<k，num[i]<num[k]，所以num[i]先弹出了，而num[k]不会对num[j]产生影响。原因：如果num[j]<num[k]，由于该情况中不存在一个r使得j<k<r且num[r]<num[j]<num[k]，所以没有影响。如果num[j]<num[k]，显然也没有影响。

于是，我们对于所有满足条件的(i,j)之间连边，由于连边的两边一定存在不同的栈里，我们发现这和二分图的性质等价。于是，我们就用染色的方法证明这是不是一个二分图，如果不是即无解。对于一个连通分量(i,j,k,...)(i<j<k<...)，将num[i]存在S1中是最优的，字典序最小。然后我们只需模拟入栈出栈的过程来输出操作序列即可。

代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <stack>
using namespace std;
stack<int> s1,s2;
int n,num[1010];
int g[1010][1010]={0},color[1010]={0};
int small[1010]={0};
bool flag=0;

void dfs(int u,int f)
{
  if (color[u]==color[f]) flag=1;
  else if (!color[u])
  {
    color[u]=color[f]==1?2:1;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	  if (g[u][i]) dfs(i,u);
  }
}

void color_g()
{
  for(int i=1;i<=n;i++)
    if (!color[i])
	{
	  color[i]=1;
	  for(int j=1;j<=n;j++)
	  {
	    if (g[i][j]) dfs(j,i);
		if (flag) break;
	  }
	  if (flag) break;
	}
}

int main()
{
  scanf("%d",&n);
  for(int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d",&num[i]);
  
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=n;j>i;j--)
	  if (num[j]<num[i]) {small[i]=j;break;}
  
  for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=i+1;j<=n;j++)
	  if (num[i]<num[j]&&small[i]>j) g[i][j]=g[j][i]=1;
  
  color_g();
  
  if (flag) {printf("0");return 0;}
  
  int now=1;
  for(int i=1;i<=n;i++)
  {
    if (color[i]==1) s1.push(num[i]),printf("a ");
	else s2.push(num[i]),printf("c ");
	while(!s1.empty()||!s2.empty())
	{
	  int top1=s1.empty()?0:s1.top(),top2=s2.empty()?0:s2.top();
	  if (top1==now) s1.pop(),now++,printf("b ");
	  else if (top2==now) s2.pop(),now++,printf("d ");
	       else break;
    }
  }
  
  return 0;
}