测试地址:力
做法:本题需要用到FFT。
把题目所给式子中的除掉,我们发现题目要求:
然而本人自己做到这里就并不会推了(即使在知道要使用FFT的情况下)。在本人看了题解之后,发现要根据一种新的思路来思考——向量卷积。
根据向量卷积的定义,两个向量的卷积为:
为了方便讨论,下述的下标可能是负数。
我们发现若令为:
其中为的符号,即当时,,否则。
那么不难看出。
为了方便计算向量卷积,我们自然要把的负数下标转化成非负下标,将下标均加上即可。于是用FFT计算向量卷积,然后取~这些项即可,这些就是我们要求的。
以下为本人代码(代码中A的下标从0开始,所以最后的向量中从第n-1项开始取):
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,r[600010];
struct Complex
{
double x,y;
}a[600010],b[600010];
const double pi=acos(-1.0);
Complex operator + (Complex a,Complex b) {Complex s={a.x+b.x,a.y+b.y};return s;}
Complex operator - (Complex a,Complex b) {Complex s={a.x-b.x,a.y-b.y};return s;}
Complex operator * (Complex a,Complex b) {Complex s={a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x};return s;}
void FFT(Complex *a,int type)
{
for(int i=0;i<n;i++)
if (i<r[i]) swap(a[i],a[r[i]]);
for(int mid=1;mid<n;mid<<=1)
{
Complex W={cos(pi/mid),type*sin(pi/mid)};
for(int l=0,r=mid<<1;l<n;l+=r)
{
Complex w={1.0,0.0};
for(int k=0;k<mid;k++,w=w*W)
{
Complex x=a[l+k],y=w*a[l+mid+k];
a[l+k]=x+y;
a[l+mid+k]=x-y;
}
}
}
if (type==-1)
{
for(int i=0;i<n;i++)
a[i].x/=n;
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
memset(a,0,sizeof(a));
memset(b,0,sizeof(b));
for(int i=0;i<n;i++) scanf("%lf",&a[i].x);
for(int i=0;i<(n<<1)-1;i++)
{
if (i<n-1) b[i].x=-1.0/((double)(i-n+1))/((double)(i-n+1));
else if (i>n-1) b[i].x=1.0/((double)(i-n+1))/((double)(i-n+1));
else b[i].x=0.0;
}
int save,bit=0,x=1;
while(x<=(n<<1)) x<<=1,bit++;
r[0]=0;
for(int i=1;i<x;i++)
r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(bit-1));
save=n;n=x;
FFT(a,1),FFT(b,1);
for(int i=0;i<n;i++) a[i]=a[i]*b[i];
FFT(a,-1);
for(int i=save-1;i<(save<<1)-1;i++)
printf("%lf
",a[i].x);
return 0;
}