【BZOJ4596】黑暗前的幻想乡（SHOI2016）-矩阵树定理+容斥原理

测试地址：黑暗前的幻想乡
做法：本题需要用到矩阵树定理+容斥原理。
我们发现数据范围很小，而这个问题又是一个计数问题，启发我们使用容斥原理，那么答案就是：任意选的方案数-一个公司不选的方案数+两个公司不选的方案数……以此类推。那么我们只需要枚举集合，然后用矩阵树定理算出对应的方案数即可，总的时间复杂度是O(2n−1(n−1)3)$O(2^{n-1}(n-1{)}^3)$，虽然看上去不可过，但是高斯消元写得好的话，离这个上界还是非常远的，所以可以通过此题。
以下是本人代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll mod=1000000007;
int n,m[21],x[21][410],y[21][410];
ll M[21][21];

void init()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<n;i++)
    {
        scanf("%d",&m[i]);
        for(int j=1;j<=m[i];j++)
            scanf("%d%d",&x[i][j],&y[i][j]);
    }
}

ll power(ll a,ll b)
{
    ll s=1,ss=a;
    while(b)
    {
        if (b&1) s=(s*ss)%mod;
        ss=(ss*ss)%mod;b>>=1;
    }
    return s;
}

ll gauss(int n)
{
    ll ret=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=i;j<=n;j++)
            if (M[j][i])
            {
                for(int k=i;k<=n;k++)
                    swap(M[i][k],M[j][k]);
                break;
            }
        if (!M[i][i]) return 0;
        ll inv=power(M[i][i],mod-2);
        for(int j=i+1;j<=n;j++)
        {
            for(int k=i+1;k<=n;k++)
            {
                M[j][k]-=M[j][i]*inv%mod*M[i][k]%mod;
                M[j][k]=(M[j][k]+mod)%mod;
            }
            M[j][i]=0;
        }
        ret=ret*M[i][i]%mod;
    }
    return ret;
}

void work()
{
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<(1<<(n-1));i++)
    {
        int j=0,p=i,tot=0;
        memset(M,0,sizeof(M));
        while(p)
        {
            j++;
            if (p&1)
            {
                tot++;
                for(int k=1;k<=m[j];k++)
                {
                    int X=x[j][k],Y=y[j][k];
                    M[X][Y]--,M[Y][X]--,M[X][X]++,M[Y][Y]++;
                }
            }
            p>>=1;
        }
        for(int j=1;j<=n;j++)
            for(int k=1;k<=n;k++)
                if (M[j][k]<0) M[j][k]+=mod;
        if (tot%2==1) ans=(ans+gauss(n-1))%mod;
        else ans=(ans-gauss(n-1)+mod)%mod;
    }
    if (n%2==0) printf("%lld",ans);
    else printf("%lld",mod-ans);
}

int main()
{
    init();
    work();

    return 0;
}