求证:(forall x>0,xmathrm{e}^xgeqslant {ln}x+x+1).
解析:
法一 由于我们孰知(forall xinmathbb{R},mathrm{e}^xgeqslant x+1),所以$$LHS=xmathrm{e}x=mathrm{e}{x+{ln}x}geqslant x+{ln}x+1=RHS.$$
法二 构造函数$$f(x)=xmathrm{e}x-x-{ln}x-1,x>0,$$求导有$$f'(x)=(x+1)left(mathrm{e}x-dfrac{1}{x} ight),x>0.$$易知(f'(x))单调递增,并且有$$f'left(dfrac{1}{4} ight)<0<f'(1).$$因此必存在唯一零点(x_0inleft(dfrac 14,1 ight)),即有(mathrm{e}^{x_0}=dfrac{1}{x_0}),两边同取对数可得(x_0=-{ln}x_0),于是我们有$$forall x>0,f(x)geqslant f(x_0)=x_0mathrm{e}^{x_0}-x_0-{ln}x_0 -1=1-x_0-x_0-1=0.$$