已知函数(g(x)={ln}x-dfrac{1}{2}mx-1).
((1)) 讨论(g(x))的单调性;
((2)) 若函数(f(x)=xg(x))在((0,+infty))上存在两个极值点(x_1,x_2),且(x_1<x_2),证明(:{ln}x_1+{ln}x_2>2).
解析:
((1)) 对函数(g(x))求导可得$$
g'(x)=dfrac{1}{x}-dfrac{1}{2}m,x>0.$$
情形一 若(mleqslant 0),则(g(x))单调递增.
情形二 若(m>0),则(g(x))在(left(0,dfrac{2}{m}
ight))上单调递增,在(left[dfrac{2}{m},+infty
ight))单调递减.
((2)) 由题$$
f(x)=x{ln}x-dfrac{1}{2}mx^2-x,x>0.$$对(f(x))求导可得$$
f'(x)={ln}x-mx,x>0.$$
从而(x_1,x_2)是(f'(x))的两个变号零点,因此$$
m=dfrac{{ln}x_1}{x_1}=dfrac{{ln}x_2}{x_2}=dfrac{{ln}x_1+{ln}x_2}{x_1+x_2}=dfrac{{ln}x_1-{ln}x_2}{x_1-x_2}>dfrac{2}{x_1+x_2}.$$
于是({ln}x_1+{ln}x_2>2)得证.