62. Unique Paths

• 思路1

这个思路比较简单，就类似于图的遍历算法，用递归来解。递归的基线条件是到达目的地或者是走到了边界。递归的条件是机器人从一个点只能往下走或者往右走，即x = x + 1或者y = y+1。到达某一格的路径数量等于它的上面和左边的路径数之和。

C语言实现

int DFS(int x,int y,int m,int n)
{
	if (x > m || y > n)
	{
		return 0;
	}
	if (x == m && y == n)
	{
		return 1;
	}
	return DFS(x+1,y,m,n) + DFS(x,y+1,m,n);
}

int uniquePaths(int m, int n)
{
	return DFS(1,1,m,n);
}

但是上面代码在LeetCode上运行，会提示Time Limit Exceeded。

• 思路2 DP

采用动态规划思路需要维护一个二维数组dp[][]， dp[i][j] 表示到当前位置不同的走法的个数，然后可以得到状态转移方程为: dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，注意在初始化的时候，要把二维数组的两个边全部初始化为1，如下图：

这是因为，机器人到这些地点的走法只有一种，只能顺着边走。

下面这张图显示了使用DP解法的时候，需要维护的dp[][]数组。

C++代码实现

class Solution 
{
public:
	int uniquePaths(int m, int n) 
	{
		if (m <= 0 || n <= 0)
		{
			return 0;
		}
		//维护一个二维数组
		vector<vector<int>> dp(m);
		for (int k = 0;k < m;k++)
		{
			dp[k].resize(n);
		}
		int i = 0;
		int j = 0;
		for (i = 0;i < m;i++)
		{
			for (j = 0;j < n;j++)
			{
				dp[i][j] = 1;
			}
		}
		for (i = 1;i < m;i++)
		{
			for (j = 1;j < n;j++)
			{
				dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];  //状态转移方程
			}
		}

		return dp[m - 1][n - 1];
	}
};