混合图欧拉回路

•参考资料

[1]:混合图欧拉回路

•前提知识

• 欧拉回路：每条边恰好只走一次，并能回到出发点的路径

• 判断方法：

1. 无向图：每个顶点的度数都是偶数，则存在欧拉回路。
2. 有向图：每个节顶点的入度都等于出度，则存在欧拉回路。

•混合图欧拉回路

• 判断方法：

第一步：把该图的无向边随便定向，计算每个点的入度和出度。

如果有某个点出入度之差为奇数，那么肯定不存在欧拉回路。

因为欧拉回路要求每点 (入度 = 出度)，也就是总度数为偶数，存在奇数度点必不能有欧拉回路。

第二步：经过第一步筛选现在每个点入度和出度之差均为偶数。

那么将这个偶数除以2得 x ( x =  (出度 - 入度)/2 )。

也就是说对于每一个点，只要将|x|条边改变方向

（入>出就是入变成出，出>入就是出变成入），就能保证 出 = 入。

如果每个点都是 出 = 入，那么很明显，该图就存在欧拉回路。

 

• 计算方法：网络流

有向边是不能改变方向的，对方向改变并没有用处，所以删去。

建超级源点$s$和超级汇点$t$，统计所有点的 入度出度之差/2 得$x$，

对于 $x > 0$ 的点，加边$(s, i, x)$；对于 $x< 0$ 的点，加边$(i, t, -x)$

对原图(即随便定向的图)中的每条边$(i, j)$，在网络中加边$(i, j, 1)$。

之后，察看是否有满流的分配。有就是能有欧拉回路，没有就是没有。

• 欧拉回路

查看流值分配，有向边+所有流量非0的边，就是每点入度 = 出度的欧拉图。

•例题

【题目】

poj 1637 Sightseeing tour

给出n个点，m条边。给出u,v,w。若w=1，则是u->v的单向边，若w=0,则是uv的双向边

如果能构成欧拉回路则输出possible,否则输出impossble

【代码】

混合图欧拉回路