题目六、数塔取数问题
一个高度为N的由正整数组成的三角形，从上走到下，求经过的数字和的最大值。
每次只能走到下一层相邻的数上，例如从第3层的6向下走，只能走到第4层的2或9上。
5
8 4
3 6 9
7 2 9 5
例子中的最优方案是：5 + 8 + 6 + 9 = 28
Input
第1行：N，N为数塔的高度。(2 <= N <= 500)
第2 - N + 1行：每行包括1层数塔的数字，第2行1个数，第3行2个数......第k+1行k个数。数与数之间用空格分隔（0 <= A[i] <= 10^5) 。
Output
输出最大值
输入示例
4
5
8 4
3 6 9
7 2 9 5
7
7
8 4
3 6 9
7 2 9 5
12 33 4 5 66
23 4 344 55 33 12
23 23 44 90 78 77 99
输出示例
28
492
解题思路：
这题的解题思路第一个大概就是暴力了吧 =。=，先来讲讲暴力的思路。就开一个二维数组存储数字塔，我就从塔顶枚举每一条可能的路径，类似于二叉数，要枚举的路径在2^n级别，考虑n = 500的情况，大概也就10^150的数量级，真是妥妥的超时。
所以就要第二种方法，动态规划。在开一个储存数字塔的二维数组f的同时，也开启一个同样大小的数组dp[][],dp[i][j]表示第i行第j列的元素到底层的最短距离。dp[i][j] = max(dp[ i + 1 ][ j ] , dp[ i + 1 ][ j + 1] ) + f[ i ][ j ],f[i][j]为数字塔的具体元素。时间复杂度就从指数级降到了平方级。
代码：
#include <cstdio> #include <algorithm> #define MAXN 510 using namespace std; int f[MAXN][MAXN], dp[MAXN][MAXN];// 数字塔数组和dp数组 int main() { int n; scanf("%d", &n); for (int i = 1; i <= n; i++) {// 循环输入数字塔 for (int j = 1; j <= i; j++) { scanf("%d", &f[i][j]); } } for (int j = 1; j <=n; j++) { dp[n][j] = f[n][j]; // dp数组最底层的元素和数组塔最底层的元素相同，自己到自己的数字之和当然是本身咯 } for (int i = n - 1; i >= 1; i--) { for (int j = 1; j <= i; j++) { dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + f[i][j]; //状态转移方程 } } printf("%d\n", dp[1][1]); //dp[1][1]就是从顶层到底层的最大距离，即为所求 return 0; }