浅谈最大公约数

根据教师课件，写成本文。未经允许，禁止转载。

\(\gcd\)，即最大公约数，指的是几个整数中公有的约数中最大的一个。

问题

已知 \(a,b\)，求 \(\gcd(a,b)\)。

方法一：枚举法

从 \(\min(a,b)\) 到 \(1\) 枚举，找到第一个 \(x\) 符合题意，就退出循环。

时间复杂度 \(\mathcal O(\min(a,b))\)。

方法二：分解质因数

令 \(a=p_1^{x_1}p_2^{x_2}\dots p_n^{x_n}\)，\(b=p_1^{y_1}p_2^{y_2}\dots p_n^{y_n}\)，其中\(x_i,y_i\ge0\) 且不同时为 0。

则 \(\gcd(a,b)=p_1^{\min(x_1,y_1)}p_2^{\min(x_2,y_2)}\dots p_3^{\min(x_3,y_3)}\)。

时间复杂度 \(\mathcal O(\sqrt{\min(a,b)})\)。

void Gcd()
{
	for(int x=2;x*x<=min(a,b);x++)
	{
		while (a % x==0 && b % x==0) {a/=x;b/=x;ans*=x;}
		while (a % x==0)a/=x;
    	while (b % x==0)b/=x;
	} 
	if (a % b==0)ans*=b;
    else if (b % a==0)ans*=a;
    printf("%d",ans);
}

方法三：辗转相除（欧几里得算法）

定理：\(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\%b)\)。

证明：

设 \(\gcd(a,b)=p\)，则有 \(a=a'*p,b=b'*p,\gcd(a',b')=1\)。

\(a\%b=a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor *b=a'*p-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b'*p=p*(a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b')\)。

\(\gcd(b,a\%b)=\gcd(b'*p,p*(a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b'))=p*\gcd(b',a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b')\)。

现证明 \(\gcd(b',a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b')=1\)，使用反证法。假设 \(gcd(b',a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b')=t(t>1)\)。

\(b'=b''*t\)，\(a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b'=c'*t\)。

\(a'=c'*t+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b'=c'*t+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b''*t=t*(c'+\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b'')\)。

则 \(\gcd(a',b')\ge p\)，与 \(\gcd(a',b')=1\) 矛盾，因此 \(\gcd(b',a'-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor*b')=1\)。

\(\gcd(b,a\%b)=p=\gcd(a,b)\)。

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时间复杂度 \(\mathcal O(\log(\max(a,b)))\)。

分析：

1. 设 \(a>b\)。

   若 \(a>2b\)，则 \(b\le \frac{a}{2}\)，规模减小一半。反之 \(a<2b\)，则 \(a\%b<\frac{a}{2}\)。

   因此时间复杂度是 \(\log\) 级别。

2. 斐波那契分析：传送门。

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int Gcd(int a,int b)
{
    if (b==0) return a;
    else return Gcd(b,a % b);
}

方法四：二进制法

当 \(a<b\) 时， \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a)\)。

当 \(a=b\) 时 \(\gcd(a,b)=a\)。

当 \(a,b\) 同为偶数时，\(\gcd(a,b)=2*\gcd(\frac{a}{2},\frac{b}{2})\)。

当 \(a\) 为偶数，\(b\) 为奇数时，\(\gcd(a,b)=\gcd(\frac{a}{2},b)\)。

当 \(a\) 为奇数，\(b\) 为偶数时，\(\gcd(a,b)=\gcd(a,\frac{b}{2})\)。

当 \(a,b\) 为奇数时，\(\gcd(a,b)=\gcd(a-b,b)\)。

注：此法适合高精度求最大公约数。

int Gcd(int m,int n)
{
    if (m==n) return m;
    if (m<n) return Gcd(n,m);
    if (m & 1==0) return (n & 1==0)? 2*Gcd(m/2,n/2):Gcd(m/2,n);
    return (n & 1==0)? Gcd(m,n/2): Gcd(n,m-n);
}