为了解决滑动窗口，我们引入单调队列的概念。
分析题目的要求，我们需要建立一种数据结构，可以满足以下要求：
-
可以快速读取一个区间的最大值和最小值
-
能根据编号的大小将元素快速弹出
先分析最大值。对于上述要求，我们可以用一个单调队列来解决这个问题。
我们不妨先看一组测试数据。
8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7
滑动窗口的运动轨迹如下：
1] 3 -1 -3 5 3 6 7
1 3 ] -1 -3 5 3 6 7
[1 3 -1] -3 5 3 6 7 此时滑动窗口已经完全进入了数列
1 [3 -1 -3] 5 3 6 7
1 3 [-1 -3 5] 3 6 7
1 3 -1 [-3 5 3] 6 7
1 3 -1 -3 [5 3 6] 7
1 3 -1 -3 5 [3 6 7] 滑动窗口已经滑到了最右边
我们可以用一个单调递减队列来解决这个问题——我们可以在队首取到最大值。
我们用一个变量 (i) 来模拟窗口的右侧。任意一个时刻内，宽度为(m)的窗口，可以表示成一个运动的区间([i-m+1,i])。我们让(i)从1到n循环枚举，每一次，我们都对扫描到的元素进行判断，看其能否进入队列。注意，我们使用的是一个单调队列，队列里面的元素是单调递减的，这样我们就可以在对头取到最大值。如果当前元素比队尾的元素还要大，根据单调队列的定义，若把当前元素加入到队列中，那么原来队尾的元素就会处于一个低谷状态：它是不可能成为最大值的。原因很简单：队列里面的所有元素都会往队首跑，这个“低谷状态”的队列元素最终会到达队首，而它的前一号元素会比它大。这不符合我们“在队首取得最大值”的要求。这个“低谷元素”就没有存在的必要了。
while(head<=tail && q[tail]<=a[i])
--tail;
q[++tail]=a[i];
p[tail]=i;//p表示队列对应元素的编号
我们发现，这里单调队列的使用有一点点像“栈”。如果仅仅只是像这样子扫描，然后入队，我们还不如建立一个单调栈呢？
其实不然。单调队列有一个特点，就是既可以从队首出队，又可以从队尾出队。我们除了考虑快速取得最值，还要考虑一点：由于是滑动窗口，有些窗口内的元素最终会运动到窗口外。所以，我们还要考虑队列里面的元素是否“过时”。
由于我们是按照时间顺序将元素存入队列内，因此过时的元素更有可能出现在队首，因为队尾都是新鲜的元素。由于窗口的右边界是(i),我们只要判断队列元素的编号和窗口左边界的关系(i-m+1)就可以了。如果当前元素的编号(rank<i-m+1)，即(rank<=i-m)，我们就把它从队首弹出。
while(p[head]<=i-m)
++head;
综上所述，我们可以用单调队列解决这个问题。分析最小值同理。
#include<bits/stdc++.h>
#define For(i,a,b) for(register int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;
struct Mq{
static const int nmax=1000001;
int n,k,a[nmax];
int q[nmax],head,tail,p[nmax];
void read()
{
scanf("%d %d",&n,&k);
for(register int i=1;i<=n;++i)
scanf("%d",&a[i]);
}
void Mmax()
{
head=1;
tail=0;
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
while(head<=tail && q[tail]<=a[i])
--tail;
q[++tail]=a[i];
p[tail]=i;
while(p[head]<=i-k)
++head;
if(i>=k)printf("%d ",q[head]);
}
printf("
");
}
void Mmin()
{
head=1,tail=0;
for(register int i=1;i<=n;++i)
{
while(head<=tail && q[tail]>=a[i])
--tail;
q[++tail]=a[i];
p[tail]=i;
while(p[head]<=i-k)
++head;
if(i>=k)
printf("%d ",q[head]);
}
printf("
");
}
}monotone_queue;
int main()
{
monotone_queue.read();
monotone_queue.Mmin();
monotone_queue.Mmax();
return 0;
}
总结一下单调队列的三部曲：
- 判单调
- 判过期
- 更答案
注意一下，这三个步骤的具体顺序还是要看题目的要求。注意在扫描的过程中，只有当当前新决策的收益或代价可以确定时，才能判定单调，且必须将其插入队列。
建议根据上面的要求，在以下两种顺序中选一个：
判单调( ightarrow)判过期( ightarrow)更答案
判过期( ightarrow)更答案( ightarrow)判单调