《Machine Learning in Action》—— Taoye给你讲讲决策树到底是支什么“鬼”
前面我们已经详细讲解了线性SVM以及SMO的初步优化过程，具体可看：
关于SVM非线性相关的内容，我们留着下个星期来撕
这篇文章我们先来看看决策树的内容，决策树相对于SVM来讲要简单不少，也没有多么复杂的公式。我理解的决策树，简单来说就是通过已有的数据集训练出一个树形结构的模型，以便我们能够依据该模型对不知分类结果的数据进行预测。简单的决策树就有点类似于我们在学习数据结构时候的二叉排序树。当然了，决策树除了能够进行分类之外，还能进行回归，这里主要讨论的是分类问题。
关于决策树相关的内容，可能会肝两篇文章来介绍。第一篇主要是讲解决策树先关的基本知识，及其决策训练的过程，也就是我们的这篇文章，重在理论及推导，也重在理解。而第二篇文章写的主要内容是决策树的代码实战，而代码实战是在熟悉理论基础的前提之下来进行的，所以对于决策树相关的理论知识还是有必要了解的。可能的话，还会有第三篇，主要是关羽防止决策树过拟合的剪枝操作的内容。
一、什么是决策树
关于决策树的定义，李航——《统计学习方法》（第二版）这本书中是这样描述的：
分类决策树模型是一种描述对实例进行分类的树形结构，决策树由节点（node）和有向边（directed edge）组成。节点有两种类型：内部节点（iternal node）和叶节点（leaf node）。内部节点表示一个特征或属性，叶节点表示一个类。
上述提到的内部节点可以理解成样本的属性特征，而叶节点可以理解成样本的标签，而有向边可以理解成不同的属性特征结果。一般我们在绘制决策树的时候，内部节点用方框或长方形表示，而叶节点用圆形或椭圆表示。（注意：这个并不是绝对的，在不同资料中可能有不同的表示方法，比如《统计学习方法》一书中用圆表示内部节点，用方形表示叶子节点，而在《机器学习实战》一书中表示方式正好相反）
枯燥的文字说明总是会降低读者的阅读欲望，下面我们不妨通过一个实际的例子来说明下，从而加强读者对决策树的理解。
比如说，形容女生美与丑的时候一般会存在多个指标，这个例子感觉有点危险，还是换个吧。
例子来源：李航——《统计学习方法》（第二版）
比如说，我们没Money用了，想要去银行贷款，这个时候银行就会根据你自己的个人附带特征来决定是否给你放款。假设这里的属性特征有四个，分别是年纪、是否工作、是否有房子、信用情况，这些属性特征就相当于是内部节点，标签（结果）是否放款相当于叶子节点，而不同属性特征的结果表示有向边，像年纪中有青年、中年、老年，信用情况有好、一般、非常好等表示不同的有向边。
对此，我们可以根据自己的感觉来手动绘制一个简单的决策树模型：
我们知道，上述决策树仅仅是我们自己手动来实现的，不一定能够运用于解决实际问题。而决策树的任务，则是根据已有的数据样本集训练得到这么一颗树形结构模型，以此来对未知分类的数据进行类别预测。对此，我们要向得到这么一颗尽可能理想的决策树，则不得不考虑以下几个问题：
- 决策树的指标（属性特征）选择的顺序应该是怎样的的？哪个特征应当被优先考虑呢？
- 如果构建出的决策树出现了过拟合问题，也就说我们的训练的时候还不错，但是一测试就GG，这个时候我们应当怎么解决呢？
本篇文章，主要内容是属性特征的优先选取问题。
二、属性特征的选择
对于属性特征的选择，我们应当优先选取对训练数据集具有明显分类能力的特征，这样可以提高我们决策树的学习效率。假如说一个属性特征的分类结果与随机分类基本没什么差别，则我们可以说这个属性特征基本是没有分类能力的。
比如说，我们这里有12个关于女生美与丑的数据样本，其中六个是丑女，另外六个是美女，六个丑女身高有三个是165cm、三个是185cm，而另外六个美女身高同样如此，这样的话，我们仅仅通过身高来对女生美貌的判断基本是没有分类能力的。（仅仅是个例子，不代表任何观点）
所以，我们理想情况下决策树的生成理应是这样的：随着决策过程的不断进行，我们希望决策树的分支节点所包含的样本尽可能的属于同一类别（标签相同），也就是节点的“纯度”越来越高。
所以，决策树的关键技术在于属性特征的选择。对于属性特征的选择，我们通常有三个准则：信息增益、信息增益比（增益率）和基尼指数。
2.1 信息增益
上面提到了样本浓度，比如说我这里有10个女生，10个都是美女，那就说此时的样本浓度高，假如美女和丑女五五分，那这个时候的浓度就比较低了。这里的“浓度”表达的就是这个意思，它主要针对的是标签（结果）。
而表示样本“浓度”的指标，最常用的就是“信息熵”了。假定当前样本集合(D)中第(k)类（总共(n)类）样本所占的比例为(p_k)，则此时样本(D)的信息熵为：
通过上述公式，我们可以知道10个美女（一个类别）的信息熵为
美女丑女五五分（两类）的信息熵为：
通过上面信息熵的简单计算，我们可以知道，信息熵的值越小，则纯度越高。
既然我们已经了解了信息增益的计算公式及其所表达的意义，那么对于一个数据样本集，我们应当如何用代码来进行计算呢？下面我们来试试吧。
本次使用到的数据样本来自 李航——《统计学习方法》（第二版），数据是关于贷款申请的，具体如下：
那么现在我们来通过代码形式计算下这个数据样本集的信息熵吧：
首先创建一个establish_data方法来建立一个二维数组用于存储上述数据样本集的相关信息（关于属性特征所对于的值0,1,2之类的，大家可以参考上述表格对号入座，这里就不做过多解释了）：
"""
Author: Taoye
微信公众号: 玩世不恭的Coder
Explain：创建训数据集
"""
def establish_data():
data = [[0, 0, 0, 0, 'N'], # 样本数据集相关信息，前面几项代表属性特征，最后一项表示是否放款
[0, 0, 0, 1, 'N'],
[0, 1, 0, 1, 'Y'],
[0, 1, 1, 0, 'Y'],
[0, 0, 0, 0, 'N'],
[1, 0, 0, 0, 'N'],
[1, 0, 0, 1, 'N'],
[1, 1, 1, 1, 'Y'],
[1, 0, 1, 2, 'Y'],
[1, 0, 1, 2, 'Y'],
[2, 0, 1, 2, 'Y'],
[2, 0, 1, 1, 'Y'],
[2, 1, 0, 1, 'Y'],
[2, 1, 0, 2, 'Y'],
[2, 0, 0, 0, 'N']]
return np.array(data)
随后，我们创建一个calc_information_entropy方法用于计算信息熵，计算过程的代码可结合上述的公式来看。另外，需要说一点的是，为了方便对放款结果进行分类，我们使用pandas包进行处理，关于pandas的使用，大伙可以参考文档，Taoye后期也会整理一份。当然了，不用pandas模块也能实现这个功能，有兴趣的读者可自行尝试，也不难。calc_information_entropy具体代码如下：
"""
Author: Taoye
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Explain：计算信息熵
"""
def calc_information_entropy(data):
data_number, _ = data.shape
information_entropy = 0
for item in pd.DataFrame(data).groupby(_ - 1):
print(item[1])
proportion = item[1].shape[0] / data_number
information_entropy += - proportion * np.log2(proportion)
return information_entropy
我们运行上述代码，来看看具体的信息熵结果：
相比大家都了解了信息熵的概念，并能够手动计算样本集的信息熵了，现在我们再来把信息增益搬出来吧。
假设一个属性特征(a)有(V)个可能的取值({a^1, a^2,.., a^V})，若使用(a)来对样本集(D)进行划分，这样的话就会产生(V)个分支节点，其中第(v)个 分支节点包含了(D)中所有在属性(a)上取值为(a^V)的样本，记为(D^V)。于是可计算出用属性特征(a)对样本集(D)进行划分所获得的“信息增益”（information gain）为：
以上是周志华——《机器学习》一书中对信息增益的相关说明。
枯燥的文字说明总是会降低读者的阅读欲望，上述符号也是有点多，我们不妨拿上面的贷款数据来进一步理解下上述信息增益的内容：
我们单独拿年龄这一个属性特征来计算其信息增益吧，其有青年、中年、老年三个可能的值，也就是说上述的(a=年龄)，({a^1,a^2,...,a^V}={青年,中年,老年})，而数据样本集(D)为上述15个数据样本，由于年龄有三个可能的值，所以此时会产生三个分支，即(V=3)。之前我们已经计算得到(Ent(D)=0.971)，现在我们只要计算出后一项(sum_{v=1}^Vfrac{D^v}{D}Ent(D^v))的值即可得到该属性特征所对应的信息增益：
通过数据，我们观察得到如下信息：
- 对于年龄这个属性特征来讲，青年、中年、老年分别有5个。
- 5个青年中有2个允许贷款，有三个不允许贷款；中年中有3个允许贷款，2个不允许贷款；老年中有4个允许贷款，有1个不允许贷款。
对此，我们可以计算：
对此，我们的计算处年龄这个属性特征所对应的信息增益值为：
我们可以把后一项的内容理解成条件概率。另外，信息增益越大，则其所对应的属性特征的分类能力也就越强，也就是我们应当优先选取的特征。
同理，我们可以计算出工作、房子、信用属性特征所对应的信息增益：
我们比较哥哥属性特征的信息增益值，可以发现房子这个属性特征最大，所以它应该是我们优先选择的属性特征。
了解了信息增益的计算及其意义，下面我们来通过代码计算一下（代码含义见注释）：
import numpy as np
import pandas as pd
np.__version__
pd.__version__
"""
Author: Taoye
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Explain：创建训数据集
"""
def establish_data():
data = [[0, 0, 0, 0, 'N'], # 样本数据集相关信息，前面几项代表属性特征，最后一项表示是否放款
[0, 0, 0, 1, 'N'],
[0, 1, 0, 1, 'Y'],
[0, 1, 1, 0, 'Y'],
[0, 0, 0, 0, 'N'],
[1, 0, 0, 0, 'N'],
[1, 0, 0, 1, 'N'],
[1, 1, 1, 1, 'Y'],
[1, 0, 1, 2, 'Y'],
[1, 0, 1, 2, 'Y'],
[2, 0, 1, 2, 'Y'],
[2, 0, 1, 1, 'Y'],
[2, 1, 0, 1, 'Y'],
[2, 1, 0, 2, 'Y'],
[2, 0, 0, 0, 'N']]
return np.array(data)
"""
Author: Taoye
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Explain：计算信息熵
"""
def calc_information_entropy(data):
data_number, _ = data.shape
information_entropy = 0
for item in pd.DataFrame(data).groupby(_ - 1):
proportion = item[1].shape[0] / data_number
information_entropy += - proportion * np.log2(proportion)
return information_entropy
"""
Author: Taoye
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Explain：找出对应属性特征值的样本，比如找出所有年纪为青年的样本数据集
"""
def handle_data(data, axis, value):
result_data = list()
for item in data:
if item[axis] == value: result_data.append(item)
return result_data
"""
Author: Taoye
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Explain：计算最大的信息增益，并输出其所对应的特征索引
"""
def calc_information_gain(data):
feature_number = data.shape[1] - 1 # 属性特征的数量
base_entropy = calc_information_entropy(data) # 计算总体数据集的信息熵
max_information_gain, best_feature = 0.0, -1 # 初始化最大信息增益和对应的特征索引
for index in range(feature_number):
feat_list = [item[index] for item in data]
feat_set = set(feat_list)
new_entropy = 0.0
for set_item in feat_set: # 计算属性特征划分后的信息增益
sub_data = handle_data(data, index, set_item)
proportion = len(sub_data) / float(data.shape[0]) # 计算子集的比例
new_entropy += proportion * calc_information_entropy(np.array(sub_data))
temp_information_gain = base_entropy - new_entropy # 计算信息增益
print("第%d个属性特征所对应的的增益为%.3f" % (index + 1, temp_information_gain)) # 输出每个特征的信息增益
if (temp_information_gain > max_information_gain):
max_information_gain, best_feature = temp_information_gain, index # 更新信息增益，确定的最大的信息增益对应的索引
return best_feature
if __name__ == "__main__":
data = establish_data()
print("属性特征对应的最大的信息增益对应的索引为：%d" % calc_information_gain(data))
运行上述代码，可见输出的各个属性特征的信息增益，以及最大信息增益对应的特征索引：
可以发现，和我们手动计算的如出一辙，所以此时我们应当优先选取索引为2的属性特征作为决策标准，也就是房子。
2.2 信息增益比（增益率）
我们使用信息增益作为选取特征指标的时候，存在偏向于选择取值较多的特征的问题。
比如我们将id作为上述数据集的一个分类属性，通过计算可以发现该信息增益最大，但实际上该id对类别不具有什么分类能力，所以这样得到的决策树不具有泛化能力，无法对新样本进行有效预测。
为了解决信息增益存在的这个问题，我们就引入了信息增益比（增益率）的概念，著名的C4.5算法就是用“增益率”来作为选取最优划分属性。增益率定义为：
(IV(a))称为(a)的“固有值”（intrinsic value）。通常(a)的取值数目越多，则(IV(a))的值会越大。其中的(a)的取值比如说：上述的年纪有青年、中年、老年三种取值。
对于上述的贷款数据集来说，信用情况有一般、好和非常好三种，比例分为是(frac{5}{15}、frac{6}{15}、frac{4}{15})。毒刺，我们可以计算信用情况的“固有值”：
所以，对于信用属性来讲，其增益率为：
同理，我们可以计算出其他属性特征的增益率：
计算增益率的具体代码可参考如下：
"""
Author: Taoye
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Explain：计算增益率
"""
def calc_gain_ratio(data):
feature_number = data.shape[1] - 1 # 属性特征的数量
base_entropy = calc_information_entropy(data) # 计算总体数据集的信息熵
for index in range(feature_number):
feat_list = [item[index] for item in data]
feat_set = set(feat_list)
new_entropy, iv = 0.0, 0.0
for set_item in feat_set: # 计算属性特征划分后的信息增益
sub_data = handle_data(data, index, set_item)
proportion = len(sub_data) / float(data.shape[0]) # 计算子集的比例
new_entropy += proportion * calc_information_entropy(np.array(sub_data))
iv += -proportion * np.log2(proportion)
temp_information_gain = base_entropy - new_entropy # 计算信息增益
gain_ratio = temp_information_gain / iv
print("第%d个属性特征所对应的增益率为%.3f，信息增益为%.3f" % (index + 1, gain_ratio, temp_information_gain)) # 输出每个特征的信息增益
运行结果如下：
在C4.5算法中，并不是直接单一的使用增益率来对属性特征的选取进行决策，而是先在信息增益中选取高于平均水平的属性作为候选，然后从候选中选取增益率最高的。
关于C4.5算法，我们后期会讲到。
2.3 基尼指数
基尼指数是另外一种选取属性的指标。
前面我们提到了，信息熵是描述数据样本纯度一个标准，而在基尼指数中的基尼值同样可以体现数据样本的纯度。数据样本集(D)的基尼值可以用(Gini(D))来表示（其中(k)表示有(k)个标签结果）：
基尼值(Gini(D))越小，说明数据样本纯度越高。而属性(a)对应的基尼指数(Gini\_index(D,a))可以定义为：
我们同样来分别计算下上述贷款数据集的基尼指数。
对于信用情况这一属性特征来讲，其基尼指数的手动计算过程如下所示：
对于其他属性的基尼指数，读者可自行根据上述过程进行计算（真的很简单）。关于基尼指数的计算代码，可参考如下：
"""
Author: Taoye
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Explain：计算基尼指数
"""
def calc_gini_index(data):
feature_number = data.shape[1] - 1 # 属性特征的数量
base_entropy = calc_information_entropy(data) # 计算总体数据集的信息熵
for index in range(feature_number):
feat_list = [item[index] for item in data]
feat_set = set(feat_list)
new_entropy, iv, gini_index = 0.0, 0.0, 0.0
for set_item in feat_set: # 计算属性特征划分后的信息增益
sub_data = handle_data(data, index, set_item)
temp_df = pd.DataFrame(sub_data)
yes_proportion = temp_df[temp_df[temp_df.shape[1]-1] == "Y"].shape[0] / len(sub_data)
gini_value = 1 - (yes_proportion ** 2) - ((1- yes_proportion) ** 2)
proportion = len(sub_data) / float(data.shape[0]) # 计算子集的比例
new_entropy += proportion * calc_information_entropy(np.array(sub_data))
iv += -proportion * np.log2(proportion)
gini_index += gini_value * proportion # 计算基尼指数
temp_information_gain = base_entropy - new_entropy # 计算信息增益
gain_ratio = temp_information_gain / iv
print("第%d个属性特征所对应的信息增益为%.3f,增益率为%.3f， 基尼指数为%.3f" % (index + 1, temp_information_gain, gain_ratio, gini_index))
运行结果：
以上就是基尼指数的计算及其相关代码，一般来讲，基尼指数越小就优先被划分。
上述内容的完整代码如下：
import numpy as np
import pandas as pd
np.__version__
pd.__version__
"""
Author: Taoye
微信公众号: 玩世不恭的Coder
Explain：创建训数据集
"""
def establish_data():
data = [[0, 0, 0, 0, 'N'], # 样本数据集相关信息，前面几项代表属性特征，最后一项表示是否放款
[0, 0, 0, 1, 'N'],
[0, 1, 0, 1, 'Y'],
[0, 1, 1, 0, 'Y'],
[0, 0, 0, 0, 'N'],
[1, 0, 0, 0, 'N'],
[1, 0, 0, 1, 'N'],
[1, 1, 1, 1, 'Y'],
[1, 0, 1, 2, 'Y'],
[1, 0, 1, 2, 'Y'],
[2, 0, 1, 2, 'Y'],
[2, 0, 1, 1, 'Y'],
[2, 1, 0, 1, 'Y'],
[2, 1, 0, 2, 'Y'],
[2, 0, 0, 0, 'N']]
return np.array(data)
"""
Author: Taoye
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Explain：计算信息熵
"""
def calc_information_entropy(data):
data_number, _ = data.shape
information_entropy = 0
for item in pd.DataFrame(data).groupby(_ - 1):
proportion = item[1].shape[0] / data_number
information_entropy += - proportion * np.log2(proportion)
return information_entropy
"""
Author: Taoye
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Explain：找出对应属性特征值的样本，比如找出所有年纪为青年的样本数据集
"""
def handle_data(data, axis, value):
result_data = list()
for item in data:
if item[axis] == value: result_data.append(item)
return result_data
"""
Author: Taoye
微信公众号: 玩世不恭的Coder
Explain：计算最大的信息增益，并输出其所对应的特征索引
"""
def calc_information_gain(data):
feature_number = data.shape[1] - 1 # 属性特征的数量
base_entropy = calc_information_entropy(data) # 计算总体数据集的信息熵
max_information_gain, best_feature = 0.0, -1 # 初始化最大信息增益和对应的特征索引
for index in range(feature_number):
feat_list = [item[index] for item in data]
feat_set = set(feat_list)
new_entropy = 0.0
for set_item in feat_set: # 计算属性特征划分后的信息增益
sub_data = handle_data(data, index, set_item)
proportion = len(sub_data) / float(data.shape[0]) # 计算子集的比例
new_entropy += proportion * calc_information_entropy(np.array(sub_data))
temp_information_gain = base_entropy - new_entropy # 计算信息增益
print("第%d个属性特征所对应的的增益为%.3f" % (index + 1, temp_information_gain)) # 输出每个特征的信息增益
if (temp_information_gain > max_information_gain):
max_information_gain, best_feature = temp_information_gain, index # 更新信息增益，确定的最大的信息增益对应的索引
return best_feature
"""
Author: Taoye
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Explain：计算增益率
"""
def calc_gain_ratio(data):
feature_number = data.shape[1] - 1 # 属性特征的数量
base_entropy = calc_information_entropy(data) # 计算总体数据集的信息熵
for index in range(feature_number):
feat_list = [item[index] for item in data]
feat_set = set(feat_list)
new_entropy, iv = 0.0, 0.0
for set_item in feat_set: # 计算属性特征划分后的信息增益
sub_data = handle_data(data, index, set_item)
proportion = len(sub_data) / float(data.shape[0]) # 计算子集的比例
new_entropy += proportion * calc_information_entropy(np.array(sub_data))
iv += -proportion * np.log2(proportion)
temp_information_gain = base_entropy - new_entropy # 计算信息增益
gain_ratio = temp_information_gain / iv
print("第%d个属性特征所对应的增益率为%.3f，信息增益为%.3f" % (index + 1, gain_ratio, temp_information_gain)) # 输出每个特征的信息增益
"""
Author: Taoye
微信公众号: 玩世不恭的Coder
Explain：计算基尼指数
"""
def calc_gini_index(data):
feature_number = data.shape[1] - 1 # 属性特征的数量
base_entropy = calc_information_entropy(data) # 计算总体数据集的信息熵
for index in range(feature_number):
feat_list = [item[index] for item in data]
feat_set = set(feat_list)
new_entropy, iv, gini_index = 0.0, 0.0, 0.0
for set_item in feat_set: # 计算属性特征划分后的信息增益
sub_data = handle_data(data, index, set_item)
temp_df = pd.DataFrame(sub_data)
yes_proportion = temp_df[temp_df[temp_df.shape[1]-1] == "Y"].shape[0] / len(sub_data)
gini_value = 1 - (yes_proportion ** 2) - ((1- yes_proportion) ** 2)
proportion = len(sub_data) / float(data.shape[0]) # 计算子集的比例
new_entropy += proportion * calc_information_entropy(np.array(sub_data))
iv += -proportion * np.log2(proportion)
gini_index += gini_value * proportion
temp_information_gain = base_entropy - new_entropy # 计算信息增益
gain_ratio = temp_information_gain / iv
print("第%d个属性特征所对应的信息增益为%.3f,增益率为%.3f， 基尼指数为%.3f" % (index + 1, temp_information_gain, gain_ratio, gini_index))
if __name__ == "__main__":
data = establish_data()
calc_gini_index(data)
优先选取属性特征的指标主要有三个，分别是信息增益、增益率、基尼指数。对上述内容做个简单的总结吧：
- 属性特征的信息增益越高，按道理来讲应当被优先选取，常用于(ID3)算法
- 属性特征的增益率越高，按道理来讲应当被优先选取，常用与(C4.5)算法
- 属性特征的尼基指数低，按道理来讲应当被优先选取，常用于(CART)算法
本文主要是决策树的理论部分内容，介绍了什么决策树，以及生成决策树时所需要优先选取的三种决策标准。有学习的过SVM，或阅读过Taoye之前写的几篇SVM内容的文章可以发现，决策树相对于SVM来讲要简单很多，没有太多且复杂的公式推导。关于决策树的其他内容，比如决策树的生成、可视化、剪枝等，我们放在后面几篇文章来写。
我是Taoye，爱专研，爱分享，热衷于各种技术，学习之余喜欢下象棋、听音乐、聊动漫，希望借此一亩三分地记录自己的成长过程以及生活点滴，也希望能结实更多志同道合的圈内朋友，更多内容欢迎来访微信公主号：玩世不恭的Coder。