FFT字符串匹配

众所周知$FFT$是一个功能多但是不开$O2$常数吓人的算法。

这里介绍一下$FFT$如何搞字符串匹配。

其实我第一次是字符暴力匹配$52$次，结果$T$了一下午。

后来上网找发现有个更好的算法。

如果有两个数判相等，我们可以相减，判断是否为$0$;

但是字符串匹配相当于多对数判相等，相减加和肯定不行，搞成绝对值再相加就行了。

关键是绝对值有点恶心。

所以我们不取绝对值取平方。

比如文本串$a$，模式串$b$，

我们要判断的是$sum((a[k+i]-b[i])^2)==0$，

把它打开，结果是$sum((a[k+i])^2)+sum((b[i])^2)-2*sum(a[k+i]*b[i])$。

前边两项预处理可以$O(1)$求，后面那个反转$b$后就是卷积。

于是求一次卷积，然后带入判断结果是否为$0$即可。

不开$O2$，$NTT$常数比较小。

时间复杂度$O(nlogn)$。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1050000;
const int MOD = 998244353;
int _id(char c)
{
    if(c>='a'&&c<='z')return (c-'a'+1);
    return (27+c-'A');
}
int to[4*N],lim=1,l;
ll fastpow(ll x,int y)
{
    ll ret = 1;
    while(y)
    {
        if(y&1)ret=ret*x%MOD;
        x=x*x%MOD;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
ll inv,W[4*N];
void ntt(ll *a,int len,int k)
{
    for(int i=0;i<len;i++)
        if(i<to[i])swap(a[i],a[to[i]]);
    for(int i=1;i<len;i<<=1)
    {
        ll w0 = W[i];
        for(int j=0;j<len;j+=(i<<1))
        {
            ll w = 1;
            for(int o=0;o<i;++o,w=w*w0%MOD)
            {
                ll w1 = a[j+o],w2 = a[j+o+i] * w%MOD;
                a[j+o] = (w1+w2)%MOD;
                a[j+o+i] = (w1-w2+MOD)%MOD;
            }
        }
    }
    if(k==-1)
    {
        for(int i=1;i<(len>>1);i++)swap(a[i],a[len-i]);
        for(int i=0;i<len;++i)a[i]=a[i]*inv%MOD;
    }
}
char s1[N],s2[N];
int l1,l2;
ll ss1[N],ss2,f[N];
ll a[4*N],b[4*N],c[4*N];
int main()
{
    scanf("%s%s",s1,s2);
    l1 = strlen(s1);
    l2 = strlen(s2);
    ss1[0]=_id(s1[0])*_id(s1[0]);
    for(int i=1;i<l1;++i)ss1[i] = ss1[i-1] + _id(s1[i])*_id(s1[i]);
    for(int i=0;i<l2;++i)ss2 = ss2 + _id(s2[i])*_id(s2[i]);
    while(lim<=(l1+l2))lim<<=1,l++;
    for(int i=1;i<lim;++i)to[i] = ((to[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1)));
    for(int i=0;i<l1;++i)a[i] = _id(s1[i]);
    for(int i=0;i<l2;++i)b[i] = _id(s2[l2-i-1]);
    inv = fastpow(lim,MOD-2);
    for(int i=1;i<lim;i<<=1)W[i] = fastpow(3,(MOD-1)/(i<<1));
    ntt(a,lim,1),ntt(b,lim,1);
    for(int i=0;i<lim;++i)c[i]=a[i]*b[i]%MOD;
    ntt(c,lim,-1);
    for(int i=l2-1;i<l1;++i)f[i]=c[i];
    int ans = 0;
    if(ss1[l2-1]+ss2-2*f[l2-1]==0)++ans;
    for(int i=1;i+l2-1<l1;++i)if(ss1[i+l2-1]-ss1[i-1]+ss2-2*f[i+l2-1]==0)++ans;
    printf("%d
",ans);
    return 0;
}