HDU 3625 Examining the Rooms：第一类Stirling数

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3625

题意：

　　有n个房间，每个房间里放着一把钥匙，对应能开1到n号房间的门。

　　除了1号门，你可以踹开任意一扇门（不用钥匙），但你最多只能踹k次。

　　问你能将所有门打开的概率。

题解：

　　· P(打开所有门) = 能打开所有门的钥匙放置情况数 / 钥匙放置的总情况数

　　· 钥匙放置的总情况数 = n!

　　

　　那么考虑下能打开所有门的钥匙放置情况数。。。

　　由于每个房间里有且只有一把钥匙，所以如果将每个房间连向房间内钥匙对应的房间，会得到一个有向图，并且由若干个独立的环组成。

　　

　　所以，只要将一个环内的任意一扇门踹开，就能打开这个环上的所有房间。

　　如果不考虑1号门，那么要算的就是n个元素组成1~k个环排列的情况数。

　　第一类Stirling数的定义啊！

　　递推式：s(n,k) = s(n-1,k-1) + (n-1)*s(n-1,k)

　　

　　So...

　　· 能打开所有门的钥匙放置情况数 = ∑S(n,i)　(1<=i<=k)

　　

　　考虑到1号门不能踹，也就是1不能独立成环，它的情况数就等于用剩下n-1的元素组成i-1个环的情况数。

　　· 能打开所有门的钥匙放置情况数 = ∑( S(n,i)-S(n-1,i-1) )

　　所以答案为：∑( S(n,i)-S(n-1,i-1) ) / n!　　(1<=i<=k)

AC Code:

// s(n,k) = s(n-1,k-1) + (n-1)*s(n-1,k)
// s(n,0) = 0    s(n,n) = 1
// P = sigma(s[n][i]-s[n-1][i-1])/fact(n)    1<=i<=k

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define MAX_N 25
#define MAX_K 25

using namespace std;

int n,k,t;
long long sum;
long long s[MAX_N][MAX_K];
long long fact[MAX_N];

void stirling()
{
    memset(s,0,sizeof(s));
    for(int i=1;i<MAX_N;i++)
    {
        s[i][i]=1;
        for(int j=1;j<i;j++)
        {
            s[i][j]=s[i-1][j-1]+(i-1)*s[i-1][j];
        }
    }
}

void cal_fact()
{
    fact[0]=1;
    for(int i=1;i<MAX_N;i++)
    {
        fact[i]=fact[i-1]*i;
    }
}

int main()
{
    stirling();
    cal_fact();
    cin>>t;
    for(int cas=1;cas<=t;cas++)
    {
        cin>>n>>k;
        sum=0;
        for(int i=1;i<=k;i++)
        {
            sum+=s[n][i]-s[n-1][i-1];
        }
        printf("%.4f
",(double)sum/fact[n]);
    }
}