堆排序练习（证明）
关于堆排序的具体介绍和C代码实现见该链接。
算导关于堆排序的练习主要是一些证明，可以帮助理解堆的特征。部分练习是图示过程，这些练习认真用笔过一次会很有收获。
1.在高度为h的堆中，最多和最少的元素个数是多少？
最多：底层全满；1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^h，等比数列求和得2^(h+1) - 1
最少：底层只有一个节点；1 + 2^1 + 2^2 + ...... + 2^(h-1) + 1，等比数列求和得2^h - 1 + 1 = 2^h
2.证明：含n个元素的堆的高度为floor(lgn)
假设n个元素的堆的高度为h。由上题得2^h <= n <= 2^(h+1) - 1，因此h <= lgn < h+1。
根据floor 和 ceiling 函数的性质
见维基
得h = floor(lgn)
3.证明：在一个最大堆的某棵子树中，最大元素在该子树的根上。（看了答案才知道用反证法，居然想不到反证法，离散数学白看了。。。。。）
假设这个命题为错误的，存在一棵子树的最大元素不在该子树的根，最大元素的下标为m。
则下标为m的节点的值比其父节点的值大，但是最大堆的特性为某个节点的值最多和其父节点的值一样大，矛盾，因此假设为错误，命题正确。
4.证明：当用数组表示存储了m个元素的堆时，叶节点的下标是floor(n/2)+1, floor(n/2)+2,...n
刚开始打算通过公式证明最有一个叶节点的父节点为floor(n/2)，最后没能成功（数学太渣）。。。
根据二叉堆的性质：某节点下标为i（非根节点），其父节点的下标为floor(i/2)，因此最后一个叶节点的父节点的下标为floor(n/2)，所以从下标floor(n/2)+1开始到n都是叶节点。
5.写出最小堆中维持最小堆性质的操作（本来要求写伪代码）
View Code
void min_heapify(int A[], int length, int i){
int l = 2 * i;
int r = 2 * i + 1;
int smallest;
if(l <= length && A[l] < A[i])
smallest = l;
else
smallest = i;
if(r <= length && A[r] < A[smallest])
smallest = r;
if(smallest != i){
int temp = A[smallest];
A[smallest] = A[i];
A[i] = temp;
min_heapify(A, length, smallest);
}
}
6.将max_heapify()函数的递归调用改为迭代结构，使效率提高。
View Code
void max_heapify(int A[], int length, int i){
int l, r;
int largest, temp;
while(i <= length){
l = 2 * i;
r = 2 * i + 1;
if(l <= length && A[l] > A[i])
largest = l;
else
largest = i;
if(r <= length && A[r] > A[largest])
largest = r;
if(largest != i){
temp = A[largest];
A[largest] = A[i];
A[i] = temp;
i = largest;
}
else
break;
}
}